GEONET

Der Satz des THALES und seine Umkehrung

Satz des THALES:

Die freien Ecken C aller rechtwinkligen Dreiecke mit gemeinsamer Hypotenuse AB liegen auf einem Kreis mit AB als Durchmesser.

Geometrische Experimente dazu:
Oberes Bild: Durch freies "Ziehen"des Punktes C (mit dem Cursor nach C gehen, die linke Maustaste drücken und mit gedrückter Taste bewegen) kann man folgende Resultate bekommen: bewegt man C nahe bei M so ist das Dreieck ABC stumpfwinklig, ist C weit von M entfernt, dann ist es offenbar spitzwinklig.
Unteres Bild: Bei Bewegen von C' entlang des gelben Kreises scheint der Winkel A'C'B' konstant zu bleiben - Messungen ergeben einen 90o-Winkel.

Beweis des Thalessatzes:
Den Winkel gamma bei C kann man mit Hilfe eines Punktes M in alpha (=Winkel ACM) und beta (=Winkel MCB) zerlegen (dies ist in einem rechtwinkligen Dreieck immer möglich, denn dort gilt alpha+beta=gamma. Damit sind die Dreiecke AMC und CMB gleichschenklig mit gleichen Schenkeln AM=MC=MB. Daraus folgt: M ist Mittelpunkt von AB und C liegt auf dem Kreis um M mit Radius AM.

Umkehrung des Satzes von THALES:

Jedes Dreieck, dessen Ecken so auf einem Kreis liegen, dass eine Seite Kreisdurchmesser ist, besitzt einen rechten Winkel.

Geometrische Experimente zum Beweis:
Oberes Bild: M ist Mittelpunkt von AB. Bewegt man man C weit entfernt von oder sehr nahe bei M, so fällt auf, dass die Dreiecke AMC bzw. CMB offensichtlich nicht gleichschenklig sind, und somit gamma nicht die Summe aus alpha und beta ist (das wäre aber eine notwendige Bedingung für die Rechtwinkligkeit von Dreieck ABC gewesen).
Unteres Bild: Da M Mittelpunkt des Durchmessers AB ist, fällt beim Bewegen von C entlang der gelben Kreislinie auf, dass die roten Strecken immer gleich lang bleiben. Daher bleiben die beiden Dreiecke AMC und CMB auch immer gleichschenklig und gamma ist gleich alpha+beta (Hinreichende Bedingung für die Rechtwinkligkeit von Dreieck ABC)

Eine Anwendung: Die rutschende Leiter