Schwerpunktsbestimmung bei einem Dreieck, an dessen Ecken jeweils gleichgroße Massen befestigt gedacht sind, dessen Fläche aber als masselos angenommen werde:
Die Ecken seien jeweils mit Massen der Größe 1 (Einheit z.B. 1 kg) belegt.
Als erstes ersetzt man die Massen bei A und B durch eine Masse der Größe 2 bei M
(genau in der Mitte zwischen A und B). Schließlich ersetzt man die Masse der Größe 1 bei C und die Masse der Größe 2 bei M durch eine Masse der Größe 3 an der
Stelle der Verbindungsstrecke MC, bei der der Hebel MC gerade im Gleichgewicht ist.
Das ist an der Stelle S der Fall, an der gilt: MS*2 = SC*1.
Somit gilt für das Streckenverhältnis MS : SC = 1 : 2.
Dieser Schwerpunkt befindet sich also gerade auf dem gemeinsamen Schnittpunkt der Seitenhalbierenden (mathematisch gefundener Schwerpunkt).
Auf dem Dreieck ABC sei jetzt eine Masse homogen (d.h. völlig gleichmäßig) verteilt.
- Experiment dazu: Schneide (aus dünner Pappe) ein Dreieck aus und versuche den Punkt
zu finden, an dem man es (z.B. mit einer Zirkelspitze) unterstützen kann, so daß es im Gleichgewicht bleibt.
Den Vorgang kann man sich mit einer infinitesimale Betrachtung klar machen:
Wir betrachten das Dreieck ABC, das mit schmalen Rechtecksstreifen überdeckt ist:
Die Schwerpunkte der Rechtecke liegen genau auf den Mittelpunkten (=Diagonalschnittpunkten) der Rechtecke. Je schmaler die Rechtecke werden (Breite h geht gegen 0), umso genauer bilden sie die Fläche des Dreiecks. Die Schwerpunkte liegen im Grenzfall genau auf der "Schwerlinie" sc (=Seitenhalbierende zur Seite c) des Dreiecks. Legt man ein Pappdreieck auf die Kante eines Lineals entlang dieser Linie, so muß es im Gleichgewicht bleiben. Der Schwerpunkt von ABC muß irgendwo auf der Strecke sc liegen.
Dieselben Überlegungen kann man jetzt mit den Grundseiten b oder a anstellen (und sich analog solche Rechtecksstreifen denken). Folgerung: Der Schwerpunkt muß ebenfalls irgendwo auf sa und irgendwo auf sb liegen. Da sich die 3 Seitenhalbierenden in S schneiden (wie wir schon von der Mathematik her wissen) muß S der Schwerpunkt des ganzen Systems sein.
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Geometrisches Experiment dazu: Lege einen Geradengleiter D auf der Dreiecksseite
b an und zeichne eine Parallele p zu c durch D innerhalb von Dreieck ABC. Der
Mittelpunkt M von p (p entspricht nach den vorangegangenen Überlegungen
einem sehr schmalen Rechteck) zeichnet als Spur eine Schwerlinie. Gehe analog
mit Parallelen zu den Seiten b und a vor, um so als Ortslinien alle drei
Schwerlinien zu zeichnen.
Jetzt muß man sich die Randstrecken a,b,c von Dreieck ABC als homogene Stangen vorstellen, die eine von ihrer Länge abhängige Masse besitzen. Im Inneren habe Dreieck ABC wieder keine Masse.
Da man sich die Massen einer Stange (Dreiecksstrecke) in ihrer Mitte vereinigt denken kann, verlagert sich das Problem darauf, wie man den Schwerpunkt dreier verschieden großer Massen (die man sich jetzt auf die Seitenmittelpunkte konzentriert denkt) finden kann.
Wir brauchen zunächst folgende Vorüberlegung:
Wo befindet sich der Schwerpunkt zweier Massen, die sich an den Endpunkten
einer Strecke s befinden, und deren Größen
sich wie zwei gegebene Strecken verhalten?
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Führe dazu selbst Experimente und Überlegungen durch. Eine
Hilfe bietet H. Winter in seinem Buch
Entdeckendes Lernen im
Mathematikunterricht
- Auf unterem GEONET-Bild sind die Punkte A und B angetragen. Sie sollen die Massen ma bzw. mb proportional zu den Strecken XY bzw. AX besitzen. Finde den Punkt S auf AB, so daß sich der Hebel - in S unterstützt - im Gleichgewicht befindet. Begründe geometrisch, daß das Hebelgesetz erfüllt ist.
