Der Schwerpunkt

Einstieg: Ein Dreieck mit einem besonderen Punkt

In dem folgenden GEONET-Arbeitsblatt ist ein Dreieck mit einem besonderen Punkt S eingezeichnet.

Finde heraus , wie dieser Punkt konstruiert wurde. Dabei kannst du das Dreieck durch "Ziehen"an den Ecken verändern.
Strecken können (in Ändern) zu Geraden verlängert werden (und umgekehrt). Durch Aufruf des Menüpunktes "Berechnung" lassen sich Messungen vornehmen (Beispiel: Bei Eingabe dist(A,B) eingeben und dann berechnen, mit Zeichnen wird das Ergebnis aufs Arbeitsblatt übertragen. Durch Eingabe eines Quotienten bei Eingabe können auch Streckenverhältnisse - etwa dist(A,B)/dist(B,C) - ermittelt werden).
Formuliere ein Ergebnis:
Man findet den Punkt S, indem man . . .

Durch geometrische Experimente soll (empirisch) herausgefunden werden, ob Punkt S besondere Eigenschaften besitzt.

Konstruiere zunächst alle Schwerlinien (= Verbindungsstrecken der Seitenmitten mit den gegenüberliegenden Ecken) im Dreieck ABC und führe anschließend folgende Experimente durch.
Versuche Eigenschaften, die der Punkt S hat (oder auch nicht hat), herauszufinden. Dabei kannst du Kreise zeichnen oder den Meßmodus ausnutzen.

Bis jetzt haben wir rein experimentell gearbeitet. Im folgenden sollen die Eigenschaften von S mathematisch exakt begründet werden.

In den unteren Figuren siehst du dasselbe Dreieck dreimal. Die Punkte S₁, S₂ und S₃ sind die Schnittpunkte der Strecken s_as_b, s_as_c bzw. s_cs_b.

Begründe, daß die Mittellinien m_a, m_b, m_c jeweils zu a,b,c parallel sind.
Zeige, daß gilt: M_aM_b = AB/2, M_bM_c = BC/2, M_cM_a = CA/2.
Für Problemlöser: Die Eigenschaft der Mittellinien (sie heißen auch Mittelparallelen) läßt sich auch allein mit Hilfe von Kongruenz zeigen. Versuche das!

In welchem Verhältnis teilt S₃ die Strecken s_b und s_c (siehe oben: 1. Figur)? Begründe!
Tip: Betrachte dazu eine zentrische Streckung mit Zentrum S₃.

. . .
Was folgt (analog) für S₁ und S₂?
Siehe oben: 1. und 2. Figur:
Es gelten folgende zwei Aussagen:
- Aussage 1 (siehe 1. Figur):
  S₃ ist Schnittpunkt von s_b und s_c. Außerdem liegt S₃ so auf s_c, daß s_c im Verhältnis 2:1 geteilt wird.
- Aussage 2 (siehe 2. Figur):
  S₂ liegt so auf s_c, daß s_c im Verhältnis 2:1 geteilt wird. Außerdem gilt: S₂ ist Schnittpunkt von s_c und s_a.
Was folgt daraus für die Punkte S₁, S₂, S₃ und S bzw. für die Strecken s_a, s_b, s_c?

S ist . . . Die Strecken sa, sb, sc . . .

S heißt Schwerpunkt des Dreiecks ABC.
Für Problemlöser: Der Beweis des Teilverhältnisses geht auch anders.