Betrachtung von Hypozykloiden
Gewöhnliche Hypozykloide:
Ein Punkt des Umfanges eines Kreises, der ohne zu gleiten auf der Innenseite eines festen Kreises rollt,
beschreibt eine Hypozykloide.
Die Parameterdarstellung einer Hypozykloide lautet folgendermaßen:
Hierbei ist a der Radius des festen Kreises, b der des rollenden und  der
Drehwinkel.
Ist das Verhältnis a / b = m ganzzahlig, so besteht die Kurve aus m zusammenhängenden Bogen; andernfalls
überschneiden die Bogen einander.
Ist m rational, schließt sich die Kurve nach einer Anzahl von Umdrehungen in sich.
Länge eines Bogens:
Länge der Kurve (bei ganzzahligem m):  = 8 (a - b)
Fläche unter einem vollen Bogen (zwischen Hypozykloide und festem Kreis);
Verkürzte und verlängerte Hypozykloiden (Hypotrochoiden):
Der erzeugende Punkt liegt innerhalb bzw. außerhalb des rollenden Kreises im Abstand c vom Mittelpunkt
des rollenden Kreises.
c < b : verkürzte (gestreckte) Hypozykloide
c > b : verlängerte (verschlungene) Hypozykloide
Parameterdarstellung:
Sonderfälle:
Die gewöhnliche Hypozykloide wird für m = 4, also für b = a / 4 zur Astroide (Sternlinie):
Für m = 2, also für b = a / 2 wird sie zu einer Geraden, und zwar artet sie in den Durchmesser des festen Kreises
aus (Möglichkeit zur Umwandlung einer Drehbewegung in eine Hin- und Herbewegung).
(Technische Anwendung: Verzahnungstechnik)
Verkürzte und verlängerte Hypozykloiden werden für m = 2 (b = a / 2), zu Ellipsen mit der Gleichung:
(Möglichkeit zur Umwandlung einer Drehbewegung in eine elliptische Bewegung)
In dem nun folgenden Applet kann man die Veränderungen an einer Hypozykloide erkennen:
Die Radien a (fester Kreis), b (rollender Kreis) und c (Variation von b) können durch scrollen verändert
werden.
In den Textfeldern der x- und y-Komponente werden die Koordinaten des zeichnenden Punktes in Pixeln angegeben.
| 
