Trochoiden

Betrachtung von Trochoiden

Verkürzte und verlängerte Zykloiden bzw. Trochoiden werden durch folgende Veränderung des erzeugenden Punktes des rollenden Kreises erzeugt. Wie weiter unten im Applet deutlich zu sehen ist, "wandert" der erzeugende Punkt je nach Wahl von c entweder in das Innere oder in das Äußere des erzeugenden Kreises ( r = a ). Ausgangsfigur ist bekanntlich die Zykloide ( r = a = c ).

Für beide Trochoidenarten gilt:

Der erzeugende Punkt liegt außerhalb (innerhalb) des abrollenden Kreises im Abstand c vom Mittelpunkt ( c > a bzw. c < a).

Die Parameterdarstellung lautet:

x = a

- c sin

y = a - c cos

ist ebenso wie bei der Zykloide der Wälzwinkel am Mittelpunkt des abrollenden Kreises.

Die Scheitelpunkte S_k haben die Koordinaten:

S_k((2k - 1)

a, 2a)
k

Die Punkte B_k , welche aus den Punkten O_k der Zykloide hervorgehen, lassen sich wie folgt berechnen:

B_k(2k

a, a - c)

Die Länge eines Bogens B_kB_k+1 errechnet sich aus:

Die Fläche unter dem Bogen von B_k bis B_k+1 beträgt:

A =

( 2a² + c² )

Unterschiede:

Verlängerte Zykloide: Doppelpunkte D_k (siehe Applet) haben die Darstellung:

D_k ( 2k

a, a(1 - (

² -

² )^½ )),

wobei die kleinste Nullstelle der Gleichung - sin = 0 ist.

(

= c / a).

Verkürzte Zykloide: Wendepunkte W_2k und W_2k+1:

W_{2k , 2k+1} ( a (±arccos

+ 2k

( 1 -

² )^½ ), a ( 1 -

² ) )

Tips zum Trochoiden-Applet:

Mit der Scrolleiste ( Radius c = ... ) kann der die verkürzte / verlängerte Trochoide erzeugende Radius c verändert werden.
Hierbei erkennt man auch gut, was die Begriffe "verkürzt ( = gestreckt )" und "verlängert ( = verschlungen )" bedeuten.
In den Textfeldern sind die Angaben für die x- und y-Koordinaten auf den Radius des rollenden Kreises genormt, d.h. es gilt a = 1 LE.