Betrachtung von Zykloiden

Gewöhnliche (gespitzte) Zykloide:

Ein Punkt eines Kreises, der auf einer Geraden ohne zu gleiten abrollt, beschreibt eine gewöhnliche (gespitzte) Zykloide.

Die Parameterdarstellung einer Zykloide lautet:

x = a (

- sin

);

y = a (1 - cos);

mit -

bzw. in kartesischen Koordinaten:

a ist hierbei der Radius des rollenden Kreises, der Wälzwinkel am Kreismittelpunkt.

Sei P nun ein beliebiger Punkt auf der Kreislinie, so gilt für die Länge des Bogens OP:

₁ = 8a sin² ( ¼

Für die Länge eines vollen Bogens gilt dann trivialerweise ( mit = ): = 8a.

Die Fläche unter einem vollen Zykloidenbogen beträgt somit A = 3 a².

Die Spitzen O_k und die Scheitelpunkte S_k haben die Koordinaten:

O_k(2k

a, 0)
S_k((2k - 1)

a, 2a)
k

Die Evolute einer Zykloide ist eine kongruente Zykloide, die um a in Richtung der positiven x-Achse und um 2a in Richtung der negativen y-Achse verschoben ist.

Verlängerte (verschlungene) und verkürzte (gestreckte) Zykloiden (Trochoiden) werden auf einer weiteren Seite besprochen.

In dem unteren Applet kann gut beobachtet werden, wie der rollende Kreis die Zykloide erzeugt.

Für die Koordinaten des "zeichnenden" Punktes in den beiden Textfeldern gilt diesmal
a = 1 LE.