Johann Bernoulli und das Brachistochronenproblem

In der in Leipzig erschienenen Zeitschrift Acta Eruditorum (gegründet 1682) veröffentlichte im Juni 1696 Johann Bernoulli (1667 - 1748), zu dieser Zeit Professor der Mathematik und Medizin in Groningen (seit Oktober 1695) eine Einladung zur Lösung eines neuen Problems:

"Wenn in einer verticalen Ebene zwei Punkte A und B gegeben sind, soll man dem beweglichen Punkte M eine Bahn AMB anweisen, auf welcher er von A ausgehend vermöge seiner eigenen Schwere in kürzester Zeit nach B gelangt."

Im Anschluß an die Aufgabenstellung schrieb er weiter:

"Damit Liebhaber solcher Dinge Lust bekommen sich an die Lösung dieses Problems zu wagen, mögen sie wissen, dass es nicht, wie es scheinen könnte, blosse Speculation ist und keinen praktischen Nutzen hat. Vielmehr erweist es sich sogar, was man kaum glauben sollte, auch für andere Wissenszweige, als die Mechanik, sehr nützlich. Um einem voreiligen Urtheile entgegenzutreten, möge noch bemerkt werden, dass die gerade Linie AB zwar die kürzeste zwischen A und B ist, jedoch nicht in kürzester Zeit durchlaufen wird. Wohl aber ist die Curve AMB eine den Geometern sehr bekannte; die ich angeben werde, wenn sie nach Verlauf dieses Jahres kein anderer genannt hat."

Innerhalb dieser Frist antwortete nur Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), und zwar postwendend im wahrsten Sinne des Wortes. Johann Bernoulli schickte Leibniz privat am 9. Juni 1696 die Aufgabenstellung nach Hannover, der Antwortbrief mit der Lösung trägt das Datum 16. Juni 1696! Das Problem lockte ihn - wie er selbst schreibt - durch seine Schönheit, wie der Apfel die Eva. Er gab in diesem Brief Johann Bernoulli auch den Rat, die Abgabefrist bis Ostern 1697 zu verlängern, da die Leipziger Acta Eruditorum im Ausland, insbesondere in Frankreich und Italien, nur verspätet zur Kenntnis genommen werden kann.

Im Januar 1697 veröffentlichte daraufhin Johann Bernoulli in Groningen eine Ankündigung, die mit folgenden Worten beginnt:

"Die scharfsinnigsten Mathematiker des ganzen Erdkreises grüsst Johann Bernoulli, öffentlicher Professor der Mathematik. Da die Erfahrung zeigt, dass edle Geister zur Arbeit an der Vermehrung des Wissens durch nichts mehr angetrieben werden, als wenn man ihnen schwierige und zugleich nützliche Aufgaben vorlegt, durch deren Lösung sie einen berühmten Namen erlangen und sich bei der Nachwelt ein ewiges Denkmal setzen, so hoffte ich den Dank der mathematischen Welt zu verdienen, wenn ich nach dem Beispiele von Männern wie Mersenne, Pascal, Fermat, Viviani und anderen, welche vor mir dasselbe thaten, den ausgezeichnetsten Analysten dieser Zeit eine Aufgabe vorlegte, damit sie daran, wie an einem Prüfsteine, die Güte ihrer Methoden beurtheilen, ihre Kräfte erproben und, wenn sie etwas fänden, mir mittheilen könnten; dann würde einem jeden öffentlich sein verdientes Lob von mir zu Theil geworden sein."

Dann wiederholt er, in etwas abgeänderter Form, die Aufgabenstellung.

Mechanisch-geometrisches Problem über die Linie des schnellsten Falles.

"Zwei gegebene Punkte, welche verschiedenen Abstand vom Erdboden haben und nicht senkrecht übereinander liegen, sollen durch eine Curve verbunden werden, auf welcher ein beweglicher Körper vom oberen Punkte ausgehend vermöge seiner eigenen Schwere in kürzester Zeit zum unteren Punkte gelangt."

Damit keine Zweifel aufkommen, fügt er noch erläuternde Bemerkungen hinzu:

"Der Sinn der Aufgabe ist der: unter den unendlich vielen Curven, welche die beiden Punkte verbinden, soll diejenige ausgewählt werden, längs welcher, wenn sie durch eine entsprechend gekrümmte sehr dünne Röhre ersetzt wird, ein hineingelegtes und freigelassenes Kügelchen seinen Weg von einem zum anderen Punkte in kürzester Zeit durchmisst. Um aber jede Zweideutigkeit auszuschliessen, sei ausdrücklich bemerkt, dass ich hier Galilei's Hypothese annehme, an deren Wahrheit, wenn man vom Widerstande absieht, kein verständiger Geometer mehr zweifelt, dass nämlich die Geschwindigkeiten, welche ein fallender Körper erlangt, sich wie die Quadratwurzeln der durchmessenen Höhen verhalten. Unser Verfahren für die Lösung ist freilich allgemein und findet auch für jede andere Hypothese Anwendung."

An diese Ergänzungen schließt sich ein vollmundiger Appell an die Geometer an, daß sie sich der Herausforderung dieser Aufgabe stellen sollen.

"Da nunmehr keine Unklarheit übrig bleibt, bitten wir alle Geometer dieser Zeit insgesammt inständig, dass sie sich fertig machen, dass sie daran gehen, dass sie alles in Bewegung setzen, was sie in dem letzten Schlupfwinkel ihrer Methoden verborgen halten. Wer es vermag, reisse den Preis an sich, den wir dem Löser bereit gestellt haben. Freilich ist dieser nicht von Gold oder Silber, denn das reizt nur niedrige und käufliche Seelen, von denen wir nichts löbliches, nichts nützliches für die Wissenschaft erwarten. Vielmehr, da Tugend sich selbst der schönste Lohn ist und Ruhm ein gewaltiger Stachel, bieten wir als Preis, wie er einem edlen Manne zukommt, Ehre, Lob und Beifall, durch die wir den Scharfsinn dieses grossen Apollo öffentlich und privatim, in Schrift und Wort, preisen, rühmen und feiern werden.
Wenn aber das Osterfest vorübergegangen ist und Niemand unsere Aufgabe gelöst hat, dann werden wir unsere Lösung der Welt nicht vorenthalten, dann wird der unvergleichliche Leibniz seine und unsere Lösung, die wir ihm schon längst anvertraut haben, sofort, wie ich hoffe, ans Licht gelangen lassen."

Diesem zweiten Aufruf zur Lösung der Aufgabe war nun eine größere Resonanz beschieden. Im Maiheft des Jahres 1697 der Acta Eruditorum wurde die Lösung Johann Bernoullis publiziert, ebenso diejenige seines älteren Bruders Jakob Bernoulli (1654 - 1705). Leibniz selbst fügte noch eine kurze Note an, in der er u.a. erklärte, daß auch er eine Lösung gefunden habe, die aber denen der Brüder Bernoulli ähnlich war und daher keiner Veröffentlichung bedarf. Weiterhin bemerkte er, daß Huygens, wenn er noch am Leben wäre (gestorben 1695), und Newton, wenn er sich die Mühe gemacht hätte, das Problem ebenfalls gelöst hätten. Newton befaßte sich tatsächlich mit der Aufgabe. In der Januar-Ausgabe der Philosophical Transactions des Jahres 1697 erschien ohne Autorenangabe eine Lösung, die dann in den Acta Eruditorum nochmals abgedruckt wurde. Johann Bernoulli identifizierte den anonymen Verfasser mit den Worten "ex ungue leonem " (den Löwen von der Pranke her) als Isaac Newton. Die Methode hat also den Autor verraten. Das Maiheft der Acta Eruditorum enthielt ferner noch Lösungen des Marquis de l'Hospital (1661 - 1704) und des Ehrenfried Walter Graf von Tschirnhausen (1651 - 1708).