Johann Bernoullis Lösung

Johann Bernoullis besondere Fähigkeit war es, rein analytische Probleme mit Methoden anzugehen, die er aus der Geometrie und der Physik kannte. Auf diese Weise erzielte er bedeutende Resultate, die allerdings nicht immer verallgemeinerungsfähig waren. Das Brachistochronenproblem ist ein solches Beispiel. Johann Bernoullis geistiger Mentor war das 1690 in Leiden erschienene Buch Traité de la Lumière von Christian Huygens (1629 - 1695). Dieser stellte darin u.a. die Theorie auf, daß das Licht als Wellenbewegung zu deuten sei. Probleme der Lichtbrechung werden behandelt, das Fermatsche Prinzip (ein "Lichtkörperchen" bewegt sich so, daß die benötigte Laufzeit minimal ist) kommt zur Anwendung. Johann Bernoulli, zu dieser Zeit Professor in Groningen, hatte natürlich dieses neue Buch in Händen. Sofort wird er erkannt haben, daß seine Aufgabenstellung mit den Huygens'schen Brechungsproblemen zusammenhängt und die Lösung mit den dort angestellten Überlegungen erfolgen kann. Aber vielleicht hatte der Traité de la Lumière sogar noch eine wesentlich größere Bedeutung für das Brachistochronenproblem. Es ist nämlich auch denkbar, daß bei dessen Lektüre Johann Bernoulli überhaupt erst die Idee zu seiner Aufgabe gekommen ist.

Die Namensgebung dieser Aufgabe wurde zwischen Johann Bernoulli und Leibniz in einem Briefwechsel vom Juli 1696 diskutiert. Johann gab der gesuchten Kurve den Namen Brachistochrone (zusammengesetzt aus: brachistos = kürzest und chronos = Zeit), Leibniz schlug dagegen Tachystoptote (zusammengesetzt aus: tachystos = schnellster und piptein = fallen) vor. Johann war bereit, den Namen zu ändern, Leibniz bestand aber nicht darauf.

Bei seiner Lösung betrachtet Johann Bernoulli gleichzeitig die optische und die dazu äquivalente mechanische Problemstellung. Seine Überlegungen beginnt er folgendermaßen:

"Jetzt wollen wir uns ein Medium denken, welches nicht gleichmässig dicht ist, sondern von lauter parallelen horizontal übereinandergelagerten Schichten gebildet wird, deren jede aus durchsichtiger Materie von gewisser Dichtigkeit besteht, welche nach einem gewissen Gesetze abnimmt oder zunimmt. Dann ist klar, dass ein Lichtkörperchen nicht in gerader, sondern in krummer Linie fortgehen wird. Das hat schon Huygens in der erwähnten Abhandlung über das Licht bemerkt, aber er bestimmte nicht die Beschaffenheit dieser Curve, auf welcher das Lichtkörperchen in kürzester Zeit von einer Stelle zu einer anderen gelangt."

Anstelle des Lichtstrahls auf seinem Weg durch ein Medium kann man auch einen fallenden Körper im Gravitationsfeld betrachten, wobei die Dichte des gewählten Mediums umgekehrt proportional der Fallgeschwindigkeit sein muß.

Johann Bernoulli zerlegt also die Fallebene in infinitesimal dünne horizontale Schichten. Die gesuchte Kurve wird somit zunächst durch einen infinitesimalen Polygonzug ersetzt. Die Durchquerung der Schichten geschieht jeweils mit konstanter Geschwindigkeit. Nach dem Energieerhaltungssatz (Ekin = Epot) ergibt sich für deren Betrag

Wir diskutieren zunächst den Übergang zwischen zwei Schichten. Dieser Übergang zwischen zwei Medien verschiedener optischer Dichte wird durch das Snelliussche Brechungsgesetz (Willibrord Snell van Royen (1591 - 1626)) charakterisiert:

Damit gilt:

Natürlich ist dieses Brechungsgesetz auch für mehrere Medienwechsel gültig. Es folgt:

Der Winkel wird bei jedem dieser Wechsel kleiner.

Die Geschwindigkeit v wächst in Abhängigkeit vom Fallweg des Körpers (genauer von dessen Komponente senkrecht zur Erdoberfläche). Wegen cos() / v = const. muß somit cos() ebenfalls wachsen und daher muß kleiner werden.

Im folgenden Applet kann mit Hilfe der Scrollleiste die Anzahl der Polygonzüge verändert werden.
Sie gehorchen dem Gesetz cos() / v = const.
Weiterhin besteht die Möglichkeit die genaue Zykloide ein- bzw. auszublenden.

Da sich die Geschwindigkeit v ständig ändert, gehen wir von beliebig vielen Medien mit beliebig nahen Trenngeraden aus. Der Polygonzug geht in eine Kurve, die gesuchte Brachistochrone über, deren aktueller Winkel durch die Tangente angezeigt wird.

Wegen

folgt

mit

Ferner gilt:

Durch Quadrieren und Gleichsetzen erhalten wir:

bzw.

Diese Differentialgleichung war Johann Bernoulli bekannt. Ihre Lösung ergibt die Zykloide mit der Parameterdarstellung:

Wir erhalten also als Ergebnis:

Die Brachistochrone hat die Form eines Zykloidenbogens.

Eine Zykloide ergibt sich als Bahnkurve eines Kreispunktes beim Abrollen eines Kreises mit Radius k / 2 auf einer Geraden, und zwar desjenigen Kreispunktes, der im Ursprung der Berührpunkt war. Anschaulich gesprochen bewegt sich ein Punkt auf dem Reifen eines Fahrrads (näherungsweise das Ventil) auf einer Zykloide.

Die Konstante k / 2 in ( * ) muß noch so angepaßt werden, daß die Zykloide durch den Endpunkt B ( xB, yB ) verläuft.