Galileis Lösung

In seiner 1638 in Leiden erschienenen Abhandlung Unterredungen und mathematische Demonstrationen über zwei neue Wissenszweige, die Mechanik und die Fallgesetze betreffend behandelte Galileo Galilei vermutlich als erster diese Aufgabe. Seine Überlegungen zur Lösung sind allerdings fehlerhaft. Er stellt zunächst richtig fest, daß die kürzeste Verbindung, die Strecke [AB], nicht die gesuchte Lösung ist. Seine optimale Kurve ist aber ein Kreisbogen durch die Punkte A und B. Kreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Strecke [AB] mit der Horizontalen durch A.

Bei seinen Überlegungen baute er auf folgendes Prinzip:
Ein fallender Körper, der auf verschiedenen Fallwegen zu der nämlichen Falltiefe gelangt, erhält dieselbe Endgeschwindigkeit mittels welcher er wiederum auf anderen Wegen zu derselben Höhe aufsteigen kann. Die Richtigkeit dieses Gesetzes erprobte er mit einem Fadenpendel und einer schweren Kugel: Erreichte das Pendel seine Gleichgewichtslage, so schlug der Faden gegen einen Nagel, was die Kugel dazu zwang, sich auf einem Kreis mit kleinerem Radius hinaufzubewegen. Und tatsächlich erreichte sie immer dieselbe Höhe, aus der sie gestartet war.

Galilei leitete mit dieser Gesetzmäßigkeit und der Lehre von der Bewegung mit gleichförmig beschleunigter Geschwindigkeit folgenden Satz her:
Verschiedene Sehnen durch den obersten und untersten Punkt eines Kreises werden in gleichen Zeiten durchlaufen. Dadurch fand er, daß ein Kreisbogen 90° in einer senkrechten Ebene, dessen tiefster Punkt zugleich der tiefste Punkt des Kreises ist, in kürzerer Zeit als eine Reihe aufeinanderfolgender Sehnen durchlaufen wird, wenn die Endgeschwindigkeit von der einen als Anfangsgeschwindigkeit auf die nächste übertragen wird. Er irrte aber mit seiner folgenden Annahme, der Kreisbogen sei überhaupt die Kurve, auf der ein Körper am schnellsten von einem Punkt A zu einem anderen Punkt B gelangen würde.