Bisher haben wir das Brachistochronenproblem für den Idealfall besprochen, d.h. Reibung spielte überhaupt keine Rolle bei unseren Betrachtungen.
Da aber bei keinem physikalischen Experiment ideale Bedingungen herrschen, kann auch unsere Zykloide keine Sonderposition einnehmen. Bei der Bewegung eines Körpers auf einer Bahn geht also immer Energie aufgrund der auftretenden Reibung verloren.
Ein Energieverlust bedeutet aber immer auch einen Geschwindigkeitsverlust bei dem bewegten Körper, denn es gilt:

Kommt also Reibung ins Spiel, beginnen wir unsere Rechnung wie folgt:
Ein beliebiger Punkt P ( x, y ) auf einer Bahnkurve läßt sich durch den Tangentenvektor T und den Normalenvektor N ausdrücken:

Für die Gewichtskraft F_G und die Reibungskraft F_R gilt:

F_G = mge_x und

F_R = - (F_G N) T.

[0;1] ist der sogenannte Reibungskoeffizient.

Setzt man diese Komponenten in Newtons zweites Gesetz ein, ergibt sich:

Mit der Substitution

errechnet sich für die Geschwindigkeit

Für die Gesamtzeit gilt dann wiederum:

Mit der Euler-Lagrange-Gleichung (F4) erweitert sich die Aufgabe nun zu einer Differentialgleichung 2. Grades:

( 1 + ( y' )² ) ( 1 + y' ) + 2 ( y - x) y'' = 0

Nach mehreren Zeilen Rechnung (mit Hilfe von Substitutionen und partiellen Ableitungen), läßt sich das Problem auf

reduzieren.

C ist eine nicht negative Konstante. Mit Hilfe der Substitution y' = cot( / 2) erhält die obige Gleichung als Ergebnis die Parameterdarstellung einer Zykloide:

Das Brachistochronenproblem mit Reibung beschränkt sich selbstverständlich nicht nur auf diese kurze Abhandlung. Die Lösung der Differentialgleichung ist lange nicht so einfach, wie hier beschrieben.
Ebenso stellt sich die Zykloide mit Reibung nicht automatisch als die schnellste Kurve dar. Je nach Wert von gibt es andere mehr oder weniger komplexe Bahnkurven, welche eine kürzere Laufzeit haben.