Allgemeines über das Variationsproblem
Gegeben ist eine differenzierbare Funktion F = F(x, y(x), y’(x)) und zwei Punkte
P1=(x1, y1), P2=(x2, y2);
weiterhin gilt die schon bekannte Ableitung:
Gesucht ist nun eine Funktion y = y(x), so daß das Integral
( F1 )
einen Extremwert annimmt, also maximal oder minimal wird. (Das kann zum Beispiel der kürzeste
Weg von A nach B, die größte Oberfläche oder ähnliches sein.)
Die differenzierbare Kurve y(x) beginnt in P1 und endet in P2. Für
diese Kurve hat das Integral I ein (relatives) Minimum oder Maximum.
Nun zur eigentlichen Lösung:
Führt man nun das Problem der Variationrechnung, wie es Leonhard Euler (1707 - 1783)
tat, auf Differentialgleichungen zurück, so bietet sich folgendes Schema an:
Alle Kurven y(x,  ), die in der unmittelbaren Nachbarschaft der
gesuchten Kurve y(x) liegen, haben die Form:
Dabei sind die differenzierbaren Funktionen  (x1)
und (x2) bis auf die Randbedingungen
|
(x1) = (x2) = 0
|
( F3 ) |
völlig beliebig.
Die Gleichungen (F3) verifizieren ebenso, daß die Kurven y(x, ) durch die Punkte
P1 und P2 gehen.
Das Integral hängt also nur noch von der Funktion (x) und von dem
genügend kleinen Parameter ab.
Wie schon eingangs erwähnt, ist nun die Kurve y(x) gesucht, mit welcher das Integral I der
Funktion F extremal wird. Es handelt sich hierbei immer um ein relatives Extremum, niemals um ein absolutes. Folglich
müssen alle differenzierbaren Funktionen y(x) in der (x, y)-Ebene verglichen und diejenige herausgestellt werden,
welche das Extremalkriterium erfüllt:
Das Integral I hat ein Maximum oder Minimum, wenn es für die Funktion y(x) einen Wert annimmt,
der für unmittelbar benachbarte Funktionen y(x, ) größer bzw. kleiner ist.
Für diesen -Bereich gilt für alle Funktionen
y(x, ):
| y(x) - y(x, ) | <
 x
bzw.
| y(x, 0) - y(x, ) | <
x
Bemerkung:
Die hier gestellte Aufgabe kann mit der Extremwertaufgabe der Differentialrechnung verglichen werden.
Der Unterschied besteht nur darin, daß dort der Wert x0 einer Variablen x gesucht wird, der die
Funktion y(x) extremal macht, hier aber eine Funktion y(x) so zu bestimmen ist, daß das Integral I
extremal wird. Trotzdem ist es hilfreich, an einen Satz der Differentialrechnung zu erinnern, der sinngemäß
auch in der Variationrechnung gilt: y’(x) verschwindet genau dann an der Stelle x0, wenn die Funktion y(x)
an dieser Stelle stationär ist, d.h. Minimum, Maximum oder Sattelpunkt hat. Für ein Extremum (Minimum oder
Maximum) an der Stelle x0 ist y’(x0) = 0 nur notwendig, nicht hinreichend.
Setzt man (F2) in (F1) ein, so ergibt sich für die Abhängigkeit des Integrals I
von für eine beliebig gewählte (im weiteren aber feste) Funktion
(x) folgende Beziehung:
Die Kurve y(x) erteilt dem Integral I genau dann ein Extremum, wenn die Integrale
I () für alle differenzierbaren Funktionen
(x), die die Bedingungen (F3) erfüllen, bei = 0 ein
Extremum haben. Die notwendige - nicht hinreichende - Bedingung für ein Extremum von I() an der Stelle = 0 ist
bekanntlich das Verschwinden der Ableitung:
Partielle Integration des zweiten Summanden führt auf
Aufgrund der Randbedingungen (F3) ist der letzte Term gleich Null. Folglich ist die
Gültigkeit der Gleichung
für alle Funktionen (x) die notwendige Bedingung dafür,
daß die Kurve y(x) das Integral I extremal macht. Nach dem Fundamental-Lemma der Variationsrechnung ist diese
Gleichung für alle Funktionen (x) dann und nur dann erfüllt, wenn der Ausdruck
in der Klammer, der nicht von (x) abhängt, identisch gleich Null ist:
( F4 )
Diese Beziehung heißt auch Euler-Lagrange-Gleichung
Wäre der Ausdruck(F4) nicht identisch gleich Null, sondern abschnittsweise positiv und negativ,
so würde ein (x), das jeweils an denselben Stellen wie der Ausdruck (F4) positiv und
negativ ist, den Integranten überall - mit Ausnahme von Nullstellen - negativ machen und das Integral könnte
nicht verschwinden.
Die Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung (F4), einer Differentialgleichung 2. Ordnung, ergibt
zusammen mit den Randbedingungen (F3) den gesuchten Weg.
Um die Schreibweise zu vereinfachen, definiert man die Variation einer Funktion y(x,) als Differenz zwischen y(x,) und y(x,0):
für sehr kleine .
Damit läßt sich eine Variationsaufgabe formulieren als
Dabei können in F auch Zwangsbedingungen mittels Lagrange-Multiplikatoren einbezogen
werden.
|
(x, 