Berechnung der Scheibenvolumina

V_i setzt sich aus (n-1) Zylinderscheiben zusammen. Nach Pythagoras gilt für deren Radien (siehe nebenstehende Skizze):

$\displaystyle r_1^2+(\frac{r}{n})^2 = r^2$
$\displaystyle r_1^2 = r^2(1-\frac{1}{n^2})$

Fahre in der angegebenen Weise fort und entwickle jeweils Formeln für r₂², r₃² sowie allgemein für r_k² für $k\leq (n-1)$ ausgedrückt durch r und n. Verwende zum Aufschreiben den unten eingeblendeten elektronischen Notizblock! Zwei Skizzen zur leichteren Berechnung von r₂² und r₃² .

Elektronischer Notizblock

In das untere Feld muss man schreiben. Danach auf schreibe drücken, um sich die mathematisch exakte Schreibweise im oberen Feld ansehen zu können. Hilfe und eine kleine Anleitung findet man hier.

Damit gilt:
$\displaystyle V_1 = r_1^2\pi h = \frac{r}{n}\pi \cdot r^2\cdot (1-\frac{1}{n^2}) = \pi \frac{r^3}{n}\cdot (1-\frac{1^2}{n^2})$ .
Finde entsprechende Formeln für V₂, V₃, allgemein für V_k sowie für V_n-1.

Welche Formel gilt für das innere Scheibenvolumen $\displaystyle V_i = \sum_{k=1}^{n-1}V_k$ ?

Verwende wieder den elektronischen Notizblock!

Somit lauten die Volumenformeln für die Kugel bei Annäherung von innen:

bzw. bei Annäherung von außen:

Im folgenden betrachten wir jeweils nur den Faktor f_i bzw. f_a nach $\pi r^3$ .

Mathematische Experimente zur Berechnung der Faktoren f_i bzw. f_a:

Verwendung eines Taschenrechners
Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms
Verwendung eines Computerprogramms

Kugelvolumen mit Hilfe der Scheibenmethode
Wie wird die Kugel zerschnitten?
Wie werden die Teilvolumina berechnet?
Mathematische Experimente
Summe der Quadrate natürlicher Zahlen
Grenzübergang und endgültige Formel