Peter Baptist

 

Über ein Extremwertproblem aus der Dreiecksgeometrie - historische und schulgeometrische Betrachtungen

 

1. J. P. Gruson und seine Minimumaufgabe

Am 21. November 1816 diskutierte vor der königlichen Akademie der Wissenschaften in Berlin der Extraordinarius Johann Philipp Gruson (1768-1857) eine "geometrische Aufgabe über Minima". Als Anwendungsaufgabe formulierte er sein Problem so:

"Man hat in einer Kantonirung oder Winterpostirung drei Posten A, B, C, welche die Lage eines spitzwinkligen Triangels bestimmen; man will zur Sicherung der Kommunikation zwischen diesen Posten noch einen vierten Posten oder ein Piket irgendwo in D so stellen, daß die dahin führenden  Kommunikationswege AD, BD und CD zusammen genommen die möglichst kleinen werden, wodurch nicht allein Zeit und Arbeit der Wege erspart, sondern auch der Vorteil erhalten wird, die  beiden übrigen Posten B und C auf dem kürzesten Wege sich in D vereinigen und A unterstützen  können; und dieses wird nach der obigen Voraussetzung bei jedem anderen Posten, B und C,  welcher angegriffen wird, gelten ..." ([6]). Die militärische Einkleidung der Aufgabe wird verständlicher, wenn man weiß, daß Gruson - um den Lebensunterhalt für seine große Familie  bestreiten zu können - außer an der Berliner Universität auch am Kadettenkorps unterrichtete. Die  geringe Höhe seines Einkommens läßt sich noch daran erkennen, daß er außerdem die Stelle eines  Professors am Französischen Gymnasium und an der Bauakademie innehatte. Wissenschaftlich trat Gruson nicht besonders hervor. Er übersetzte Arbeiten Eulers und Lagranges ins Deutsche und verfaßte elementare Handbücher. Auch besorgte er eine deutsche Ubersetzung von L. Mascheronis "Geometria del compasso". Eine von ihm entwickelte Geheimschrift wurde in der preußischen Armee verwendet (vgl. [2]).

Warum lohnt es sich, diese von Gruson behandelte Aufgabe zu betrachten? Vielleicht ruft schon die ungewöhnliche Problemstellung ein gewisses Interesse hervor. Aber dies wäre nur ein Nebeneffekt. Entscheidend dagegen ist es, daß die Aufgabe zwei wichtige Merkmale aufweist:
 

 

2. Die Minimumaufgabe und ihr historischer Ursprung

Ohne militärische Einkleidung lautet die von Gruson diskutierte Aufgabe:
 
Gibt es in jedem Dreieck einen Punkt F so, daß die Summe der Entfernungen von F zu den drei Eckpunkten minimal ist?
 

Diese Problemstellung stammt nicht von Gruson, sie taucht zum ersten Mal um die Mitte des 17. Jahrhunderts auf. Urheber ist der Jurist und Parlamentsrat Pierre de Fermat  (1601-1665). Am Schluß des vierten Teils seiner um 1643/44 verfaßten "Abhandlungen über Maxima und Minima" schreibt er (zitiert nach [15]):

"... Datis tribus punctis, quartum reperire, a quo si ducantur tres rectae ad data puncta, summa trium harum rectarum sit minima quantitas."

Betrachten wir die Aufgabe mit den Augen eines heutigen Schulmathematikers, so können wir sie in die Kategorie der beziehungsreichen Motivationsaufgaben einreihen:

"Eine Aufgabe, die für ein neues Stoffgebiet oder ein spezielles mathematisches Problem motivieren soll, erfordert eine Fragestellung, die genügend Anreiz bietet, darüber nachzudenken. Auch darf die Lösung nicht unmittelbar auf der Hand liegen, sondern  sollte auf Uberlegungen beruhen, die bereits in den neuen Themen- bzw. Problemkreis einführen" (vgl. Kratz [10]).

Obiges Minimumproblem erfüllt sicherlich diese Forderungen. Das Problem ist reizvoll, einfach zu formulieren, und eine elementargeometrische Lösung liegt tatsächlich nicht so ohne weiteres auf der Hand.
 

3. Eine Lösung mit Hilfe der Differentialrechnung

Wie hat nun Gruson diese Aufgabe gelöst? Er betrachtet das Dreieck ABC in einem kartesischen Koordinatensystem und bestimmt zunächst die Entfernungen dA, dB, dC des gesuchten Punktes von den Eckpunkten in Abhängigkeit von den Koordinaten x, y des gesuchten Punktes. Zu minimieren ist dann die Funktion
  Mit den bekannten Kriterien der Differentialrechnung erhält Gruson als Ergebnis:

"Der gesuchte Punct muß also so liegen, daß die aus demselben an die drei gegebenen Puncte gezogenen geraden Linien gleiche Winkel mit einander machen, und es darf, wenn die Aufgabe möglich seyn soll, keiner der drei Winkel des Triangels, an dessen Spitzen  die drei gegebenen Puncte liegen, größer als 120° seyn" ([6]).

Wir wollen aber ohne Differentialrechnung auskommen und suchen daher nach geometrischen Lösungen. Eine vektorgeometrische Lösung unter Verwendung des Skalarprodukts hat Pickert in [14] gegeben. Unser Ziel ist es, einige elementargeometrische Zugänge zu der Minimumaufgabe zu betrachten.
 

4. Die Lösung nach J. E. Hofmann

Eine der bekanntesten elementargeometrischen Lösungen hat der Mathematikhistoriker Joseph E. Hofmann 1929 in [8] veröffentlicht. Allerdings muß er sich die  Entdeckerlorbeeren mit einigen anderen Mathematikern teilen.

Der Hofmannschen Lösung liegt als Leitidee die Erkenntnis zugrunde, daß von allen Streckenzügen mit gleichen Endpunkten die gerade Linie am kürzesten ist. Nach dieser  Lösungsstrategie verfährt man z. B. auch bei der Aufgabe, einem gegebenen spitzwinkligen Dreieck ein Dreieck mit minimalem Umfang einzubeschreiben. Bei der uns vorliegenden Aufgabe können wir diese Strategie nicht unmittelbar anwenden. Denn hier handelt es sich nicht um einen Streckenzug, sondern die Strecken gehen von einem  gemeinsamen festen Punkt aus. Daher muß zunächst das Streckendreibein in einen  Streckenzug übergeführt werden.

1. Phase: Zeichnen einer Konfiguration


 
 
 

2. Phase: Analyse dieser Konfiguration  
Konstruktion des Minimumpunktes

Aus dem Hofmannschen Beweis ergibt sich sofort eine Konstruktionsvorschrift für den Minimumpunkt.
 

 

 

Fragen:
 

 

5. Konstruieren und Entdecken

Jetzt wählen wir einen anderen Zugang zum Minimumpunkt. Wir konstruieren zunächst  einen Punkt in einem Dreieck, von dem aus die Seiten jeweils unter l 20° gesehen werden. Anschließend weisen wir nach, daß der so konstruierte Punkt die gewünschte Minimaleigenschaft besitzt.

Im Anschluß an die Behandlung des Umfangswinkelsatzes bekommen die Schüler folgende Konstruktionsaufgabe:

1. Phase:

 
 Die Konstruktionsaufgabe bleibt nicht isoliert, mit ihr wird weitergearbeitet.
 
 
2. Phase:  
 Zeichnung

3. Phase: Entdecken von Beziehungen

 

6. Ein Ausflug in die Geschichte

Die zuletzt skizzierte Lösung basiert auf Ergebnissen des Florentiners Vincenzo Viviani  (1622-1703), dem letzten Schüler Galileis. Wir befinden uns somit in Italien um die Mitte  des 17. Jahrhunderts. Das Minimumproblem stieß damals bei italienischen Mathematikern  auf großes Interesse (vgl. dazu [9]). Viviani unterzog es einer allgemeineren  Betrachtungsweise, und zwar untersuchte er Entfernungssummen in Vielecken. Die  Anwendung seiner Ergebnisse auf das Dreieck liefert eine Lösung der Fermatschen  Aufgabe. Obwohl Viviani seine Untersuchungen schon Mitte der 40er Jahre durchführte,  veröffentlichte er sie erst 1659 im Anhang des zweiten Bandes seines Werkes "De maximis  et minimis divinatio in quintum Conicorum Appollonii Pergaei". Dabei handelt es sich um  eine Rekonstruktion des verlorengegangenen 5. Bandes der Kegelschnittslehre des Apollonius von  Perge (ca. 262 - ca. 190).

Seine Kenntnis von dem Problem erhielt Viviani durch den Mathematiker und Physiker Evangelista Torricelli (1608-1647). Dieser fand selbst einige Lösungen, u.a. mit Hilfe einer Ellipse. Nach Italien und damit zu Torricelli gelangte die Aufgabe durch den  Minoriten-Pater Marin Mersenne (1588-1648), der im Herbst 1644 eine Pilgerreise nach  Rom unternahm und dabei u. a. in Florenz Station machte. Im Reisegepäck hatte er Fermats "Abhandlungen über Maxima und Minima". Dies war kein Zufall, denn Mersenne sorgte für den Kontakt zwischen bedeutenden Gelehrten seiner Zeit, er koordinierte gewissermaßen den gelehrten Schriftwechsel. Das war damals neben dem Studium von Monographien die einzige Möglichkeit der wissenschaftlichen Kommunikation. Heutzutage ist uns der Name Mersenne noch im Zusammenhang mit Primzahlen der Form 2P-1 geläufig. Diese sog. Mersenne-Primzahlen spielen eine große Rolle bei der Suche nach immer größeren Primzahlen.

Auf seiner Pilgerfahrt legte Mersenne vor Florenz auch in Bologna einen Halt ein und traf mit Bonaventura Cavalieri (1598-1647) zusammen. Auch er lieferte Beiträge zu dem Minimumproblem. Er erkannte, daß die Winkel des Dreiecks jeweils kleiner als 120° sein müssen, wenn der Minimumpunkt innerhalb des Dreiecks liegen soll, und daß die Seiten des Dreiecks von diesem Punkt unter gleichem Winkel zu sehen sind. Den Punkt selbst konstruierte er mit Hilfe der Umkreise der aufgesetzten gleichseitigen Dreiecke.
 
 

7. Ecktransversalen und Fermat-Punkt

Aus dem oben skizzierten Beweis von J. E. Hofmann kann man die Idee entnehmen, den Fermat-Punkt auch als Schnittpunkt von Ecktransversalen zu erzeugen.
 

7.1. Entdecken durch Konstruieren

Über den Seiten eines beliebigen Dreiecks werden gleichseitige Dreiecke errichtet und deren freie Eckpunkte mit den gegenüberliegenden Eckpunkten des Ausgangsdreiecks  verbunden. Die so erzeugten Ecktransversalen sind kopunktal.
Für diese Schnitteigenschaft betrachten wir zwei Beweisvarianten.

1. Nachweis: "Zerstören der Symmetrie"
 

2. Nachweis: Mit Hilfe der Umkehrung des Satzes von Ceva.
   

7.2. Verallgemeinerung

Bleiben die Ecktransversalen kopunktal, wenn wir die gleichseitigen Dreiecke über den Seiten des Ausgangsdreiecks durch andere, nicht so spezielle Dreiecke ersetzen? Eine  Möglichkeit wäre es, Vermutungen aufgrund von Konstruktionen zu äußern (z. B.  gleichschenklige Dreiecke, ähnliche Dreiecke). Wir bevorzugen ein gezieltes Vorgehen,  das zudem den Vorteil hat, gleichzeitig einen Beweis für die Kopunktalität zu liefern. Dazu prüfen wir nach, für welche Typen von aufgesetzten Dreiecken obiges Beweisverfahren mit der Umkehrung des Ceva noch anwendbar ist. Aus der Ceva-Bedingung (*) können wir folgende Schlüsse ziehen:
  Zeichnung

Jetzt sind die aufgesetzten Dreiecke nicht mehr gleichschenklig. Mit dem Sinussatz läßt sich aber zeigen, daß das verbleibende Produkt von Seitenverhältnissen gleich 1 ist:
 

Bemerkung:  

8. Eigenschaften der Fermat-Figur

Wir betrachten nochmals ein Dreieck mit den nach außen aufgesetzten gleichseitigen  Dreiecken. An dieser Figur lassen sich interessante Entdeckungen machen. Ohne Beweis  werden einige Beispiele angeführt, um den Leser auf den Geschmack zu bringen.

Zeichnung
 

Natürlich lassen sich die gleichseitigen Dreiecke auch nach innen ansetzen. Diese Konfiguration bietet sich für eine gelenkte Forschungstätigkeit der Schüler an. Sie können überprüfen, ob die Ergebnisse der Konfiguration mit den nach außen angesetzten Dreiecken hier entsprechend gelten. Die bekannten Beweise können als Leitlinie dienen.

Weiterhin gibt es auch Beziehungen zwischen den beiden Fermat-Figuren zu entdecken. So gilt beispielsweise:

Mit Untersuchungen an der Fermat-Figur befaßten sich bereits im vergangenen Jahrhundert etliche Gymnasiallehrer. In Schulprogrammen machten sie Vorschläge,  welche Ergebnisse auch für den Unterricht Verwendung finden könnten. Während z. B.  C. L. A. Kunze in seiner Abhandlung [11] lediglich elementargeometrische Hilfsmittel verwendet, arbeitet B. Feaux [5] bei teilweise gleichen Problemen auch mit trigonometrischen Funktionen.
 

9. Variationen an der Fermat-Figur

9.1. Ein iterativer Erzeugungsprozeß

Die freien Eckpunkte A1, B1, C1 der nach außen aufgesetzten gleichseitigen Dreiecke lassen sich als Eckpunkte eines neuen Dreiecks auffassen. An den Seiten dieses Dreiecks  lassen sich wiederum nach außen gleichseitige Dreiecke errichten. Welche Beziehung  besteht zwischen dem Fermat-Punkt des Ausgangsdreiecks ABC und dem des Dreiecks A1B1C1?
 

9.2. Eine Dreieckskonstruktion aus drei gegebenen Punkten

Dreieckskonstruktionen waren in früheren Zeiten in der Schule sehr beliebt, zumindest bei Lehrern, wenn sie die Konstruktion kannten. Diese Thematik wurde aber leider überstrapaziert, und mittlerweile sind solche Aufgaben verpönt. Es beginnt sich aber ein Umdenken abzuzeichnen, wie z. B. die Neuauflage der "Konstruktionsfibel" von Herterich [7] belegt. Die Fermat-Figur liefert die Idee für ein interessantes Beispiel einer Dreieckskonstruktion aus drei gegebenen Punkten. Aufgaben dieser Bauart finden sich auch gelegentlich im Bundeswettbewerb Mathematik (vgl. Aufgabe 4, 1978/I und  Aufgabe 3, 1986/I).

Wir zeichnen ein Dreieck ABC (Innenwinkel < 120°) mit nach außen aufgesetzten gleichseitigen Dreiecken. Anschließend wird das Innere der Figur "weggewischt", es bleiben nur die freien Eckpunkte A1, B1, C1 erhalten. Aus ihnen soll nun das ABC (re-)konstruiert werden.
 

10. Die zum Fermat-Problem gehörende Maximumaufgabe

In engem Zusammenhang mit dem Fermat-Problem steht eine bestimmte Maximumaufgabe. Sie taucht in der Literatur erstmals in der Mitte des 18. Jahrhunderts  auf, und zwar in einer Frauenzeitschrift, die sich ausschließlich mathematischen Unterhaltungs- und Knobelaufgaben widmete. Dies klingt erstaunlich, da Frauen, die sich  mit Mathematik beschäftigen, heute eher die Ausnahme bilden. Die wenigen am Bundeswettbewerb Mathematik teilnehmenden Mädchen bestätigen diese Feststellung. Die Ansicht des Neurologen Paul Julius Möbius (1853-1907) (vgl. [13]), eines Enkels des Mathematikers August Ferdinand Möbius (1790-1868), daß Frauen in der Mathematik nicht schöpferisch tätig sein können, läßt sich heute leider nur durch wenige Gegenbeispiele widerlegen.

Kommen wir zu der genannten Zeitschrift zurück. "The Lady's Diary or Woman's  Almanach", in England zwischen 1704 und 1841 regelmäßig einmal im Jahr erschienen, versprach den Leserinnen "the cultivation of your minds will increase your  attractiveness". 1841 fusionierte übrigens diese Zeitschrift mit "The Gentleman's Diary" und erschien bis 1871 unter dem Titel "The Lady's and Gentleman's Diary" (vgl. [1]). Autoren und Leserschaft waren hauptsächlich interessierte Laien.

Im "Lady's Diary" des Jahres 1755 stellte ein Thomas Moss folgendes Problem:

"In the three sides of an equiangular field stand three trees at the distances of 10, 12 and 16 chains from one another; to find the content of the field, it being the greatest the data  will admit of."
Was hat nun diese Aufgabe mit dem Fermat-Problem zu tun? Darüber gibt das "Lady's  Diary" keine Auskunft. Dies verwundert eigentlich etwas, da der damalige Herausgeber dieses Almanachs, Thomas Simpson (1710-1761), das Fermat-Problem kannte. In seiner 1750 in einer erweiterten und überarbeiteten Ausgabe erschienenen "Doctrine and  Application of Fluxions" [17] finden wir die Konstruktion des Fermat-Punktes mit Hilfe der Ecktransversalen. In einer Übungsaufgabe befaßte sich Simpson auch mit dem Problem der Minimierung der gewichteten Summe der Entfernungen. Wir kennen heutzutage den  Namen Simpson meist nur noch im Zusammenhang mit einer Formel zur näherungsweisen  Berechnung der Fläche unter einer Kurve, der sog. Simpson-Regel. Diese wurde aber schon lange vor ihm entdeckt.

Kommen wir zurück auf die Frage nach dem Zusammenhang zwischen der Aufgabe von Moss und dem Fermat-Problem. Eine Antwort finden wir in J. D. Gergonnes "Annales de  Mathematiques Pures et Appliquees". Im ersten Band dieser Zeitschrift aus den Jahren 1810/11 wird die genannte Aufgabe ohne Einkleidung gestellt, also:

"Einem gegebenen Dreieck soll das maximale gleichseitige Dreieck umschrieben werden."
Im darauffolgenden Band (Jahrgang 1811/12) werden Lösungen verschiedener Autoren vorgestellt. Dabei wird auch folgende Beobachtung mitgeteilt:

"Die Seiten des einem gegebenen Dreieck umbeschriebenen maximalen Dreiecks stehen senkrecht auf den Geraden, die die Ecken des gegebenen Dreiecks mit dem Punkt  verbinden, von dem aus die Summe der Entfernungen zu diesen Ecken minimal ist. Weiterhin ist die Länge der Höhe dieses maximalen umbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks gleich der Summe der Entfernungen von dem Minimumpunkt zu den Ecken des gegebenen Dreiecks."

Mit der Lösung des Fermat-Problems ist somit gleichzeitig das maximale umbeschriebene gleichseitige Dreieck bestimmt und umgekehrt. Ein Minimum- und ein Maximumproblem, die so miteinander zusammenhängen, heißen zueinander dual. Das Fermat-Problem und die Bestimmung des maximalen gleichseitigen Umdreiecks können somit als die Urväter der Dualitätsprobleme der Optimierungstheorie angesehen werden.
 

12. Schlußbemerkung

Die Namensgebung für manche Probleme oder Lehrsätze erfolgte oftmals nach später nicht mehr verständlichen Kriterien. So erscheint das hier behandelte Fermat-Problem in dem weitverbreiteten Buch "Was ist Mathematik?" [3] von R. Courant und H. Robins als  Steiner-Problem. Die dort angegebene Lösung stammt aber von Torricelli. Eine  Begründung für den Namen "Steiner-Problem" wird nicht gegeben. Jakob Steiner (1796-1863) hat zu dem Minimumproblem nicht viel veröffentlicht, wie Schreiber [15]  feststellte. Es gibt nur zwei Belege für Steiners Beschäftigung mit dieser Thematik:
  Damit auch Torricelli und Viviani zu ihrem Recht kommen, müßten wir folglich vom  Fermat-Torricelli-Viviani-Steiner-Problem sprechen. Aber da gibt es auch einen Alfred Weber, der sich zu Beginn dieses Jahrhunderts mit der gerichteten Entfernungssumme beschäftigt hat (vgl. [18]).

Der Name des Problems würde ziemlich unhandlich, wenn wir jede der erwähnten Personen berücksichtigen wollten. Es ist auch schwer zu beurteilen, wer den  entscheidenden Beitrag lieferte. In diesem Fall ist es sicherlich angebracht, das Problem nach seinem Urheber Fermat zu benennen.
 

Literatur

[1] Archibald, R. C.: Notes on some minor English mathematical serials. In: Mathematical Gazette14 (1929), S. 379-400

[2] Biermann, K.R.: Die Mathematik und ihre Dozenten an der Berliner Universität 1810-1920. Berlin: AkademieVerlag 1973

[3] Courant, R. u. H. Robbins: Was ist Mathematik? Berlin u.a.: Springer 1973

[4] Coxeter, H. S. M. u. S. Greitzer: Geometry revisited. MAA, 1967 (deutsche Übersetzung: Zeitlose Geometrie Stuttgart: Klett 1983)

[5] Féaux, B.: Ein Lehrsatz der Planimetrie. Schulprogramm Gymnasium Arnsberg 1873

[6] Gruson, J. P.: Eine geometrische Aufgabe über Minima. Abhandlungen der königlichen Akademie der Wissenschaften in Berlin, Mathematische Classe 1816/l7

[7] Herterich, K.: Die Konstruktion von Dreiecken. Stuttgart: Klett 1986

[8] Hofmann, J. E.: Elementare Lösung einer Minimumsaufgabe. In: ZMNU 60 (1929), S. 22-23

[9] Hofmann, J. E.: Über die geometrische Behandlung einer Fermatschen Extremwert-Aufgabe durch Italiener des 17. Jahrhunderts. In: Sudhoffs Archiv 53 (1969), S. 86-99

[10] Kratz, J.: Beziehungsreiche geometrische Problemstellungen aus didaktischer Sicht. In: DdM 16 (1988 ), Heft 3, S. 206-234

[11] Kunze, C. L. A.: Ueber einige theils bekannte, theils neue Sätze vom Dreieck und Viereck, Halle 1848 (1. Auflage als Programm des Gymnasiums Weirnar 1832).

[12] MacKay, J.S.: Isogonic Centres of a Triangle. In: Proc. Edinburgh Math. Soc. 15 (1896-97), S.100-118

[13] Möbius, P.J.: Über die Anlage zur Mathematik. Leipzig: J.A. Barth 1907

[14] Pickert, G.: Minimale Abstandssumme von drei Punkten. In: PM 28 (1986), Heft 3,  S. 142-148

[15] Schreiber, P.: Zur Geschichte des sog. Steiner-Weber-Problems. Wiss. Z. Ernst-Moritz-Arndt Univ. Greifswald. In: Math.-nat. wiss. Reihe 35 (1986), S. 53-58

[16] Schupp, H.: Elementargeometrie. Paderborn: Schöningh 1977

[17] Simpson, Th.: The Doctrine and Application of Fluxions. Überarbeitet und herausgegeben von W. Davis, London 1805

[18] Weber, A.: Über den Standort der Industrien. Tübingen: J.C.B. Mohr 1909
 
 
 

Hinweis: Zur Ergänzung der Thematik empfiehlt sich der Artikel "Problem und Satz von Napoleon"  von F. Schmidt. In DdM 18 (1990), Heft 1.