Peter Baptist

Über ein Extremwertproblem aus der Dreiecksgeometrie - historische und schulgeometrische Betrachtungen

1. J. P. Gruson und seine Minimumaufgabe

Am 21. November 1816 diskutierte vor der königlichen Akademie der Wissenschaften in Berlin der Extraordinarius Johann Philipp Gruson (1768-1857) eine "geometrische Aufgabe über Minima". Als Anwendungsaufgabe formulierte er sein Problem so:

"Man hat in einer Kantonirung oder Winterpostirung drei Posten A, B, C, welche die Lage eines spitzwinkligen Triangels bestimmen; man will zur Sicherung der Kommunikation zwischen diesen Posten noch einen vierten Posten oder ein Piket irgendwo in D so stellen, daß die dahin führenden Kommunikationswege AD, BD und CD zusammen genommen die möglichst kleinen werden, wodurch nicht allein Zeit und Arbeit der Wege erspart, sondern auch der Vorteil erhalten wird, die beiden übrigen Posten B und C auf dem kürzesten Wege sich in D vereinigen und A unterstützen können; und dieses wird nach der obigen Voraussetzung bei jedem anderen Posten, B und C, welcher angegriffen wird, gelten ..." ([6]). Die militärische Einkleidung der Aufgabe wird verständlicher, wenn man weiß, daß Gruson - um den Lebensunterhalt für seine große Familie bestreiten zu können - außer an der Berliner Universität auch am Kadettenkorps unterrichtete. Die geringe Höhe seines Einkommens läßt sich noch daran erkennen, daß er außerdem die Stelle eines Professors am Französischen Gymnasium und an der Bauakademie innehatte. Wissenschaftlich trat Gruson nicht besonders hervor. Er übersetzte Arbeiten Eulers und Lagranges ins Deutsche und verfaßte elementare Handbücher. Auch besorgte er eine deutsche Ubersetzung von L. Mascheronis "Geometria del compasso". Eine von ihm entwickelte Geheimschrift wurde in der preußischen Armee verwendet (vgl. [2]).

Warum lohnt es sich, diese von Gruson behandelte Aufgabe zu betrachten? Vielleicht ruft schon die ungewöhnliche Problemstellung ein gewisses Interesse hervor. Aber dies wäre nur ein Nebeneffekt. Entscheidend dagegen ist es, daß die Aufgabe zwei wichtige Merkmale aufweist:

Es liegt ein konkretes elementarmathematisches Problem vor (die Bestimmung der kürzesten Entfernungssumme dreier Punkte zu einem vierten Punkt).
Wir werden unmittelbar zu mathematikhistorischen Betrachtungen angeregt.

(Wie wurde diese Aufgabe von Gruson gelöst? Wann taucht dieses Problem zum ersten Mal auf? Wie wurde es von anderen gelöst? etc.)

2. Die Minimumaufgabe und ihr historischer Ursprung

Ohne militärische Einkleidung lautet die von Gruson diskutierte Aufgabe:

Gibt es in jedem Dreieck einen Punkt F so, daß die Summe der Entfernungen von F zu den drei Eckpunkten minimal ist?

Diese Problemstellung stammt nicht von Gruson, sie taucht zum ersten Mal um die Mitte des 17. Jahrhunderts auf. Urheber ist der Jurist und Parlamentsrat Pierre de Fermat (1601-1665). Am Schluß des vierten Teils seiner um 1643/44 verfaßten "Abhandlungen über Maxima und Minima" schreibt er (zitiert nach [15]):

"... Datis tribus punctis, quartum reperire, a quo si ducantur tres rectae ad data puncta, summa trium harum rectarum sit minima quantitas."

Betrachten wir die Aufgabe mit den Augen eines heutigen Schulmathematikers, so können wir sie in die Kategorie der beziehungsreichen Motivationsaufgaben einreihen:

"Eine Aufgabe, die für ein neues Stoffgebiet oder ein spezielles mathematisches Problem motivieren soll, erfordert eine Fragestellung, die genügend Anreiz bietet, darüber nachzudenken. Auch darf die Lösung nicht unmittelbar auf der Hand liegen, sondern sollte auf Uberlegungen beruhen, die bereits in den neuen Themen- bzw. Problemkreis einführen" (vgl. Kratz [10]).

Obiges Minimumproblem erfüllt sicherlich diese Forderungen. Das Problem ist reizvoll, einfach zu formulieren, und eine elementargeometrische Lösung liegt tatsächlich nicht so ohne weiteres auf der Hand.

3. Eine Lösung mit Hilfe der Differentialrechnung

Wie hat nun Gruson diese Aufgabe gelöst? Er betrachtet das Dreieck ABC in einem kartesischen Koordinatensystem und bestimmt zunächst die Entfernungen d_A, d_B, d_C des gesuchten Punktes von den Eckpunkten in Abhängigkeit von den Koordinaten x, y des gesuchten Punktes. Zu minimieren ist dann die Funktion

u(x,y)=d_A(x,y)+d_B(x,y)+d_C(x,y).

Mit den bekannten Kriterien der Differentialrechnung erhält Gruson als Ergebnis:

"Der gesuchte Punct muß also so liegen, daß die aus demselben an die drei gegebenen Puncte gezogenen geraden Linien gleiche Winkel mit einander machen, und es darf, wenn die Aufgabe möglich seyn soll, keiner der drei Winkel des Triangels, an dessen Spitzen die drei gegebenen Puncte liegen, größer als 120° seyn" ([6]).

Wir wollen aber ohne Differentialrechnung auskommen und suchen daher nach geometrischen Lösungen. Eine vektorgeometrische Lösung unter Verwendung des Skalarprodukts hat Pickert in [14] gegeben. Unser Ziel ist es, einige elementargeometrische Zugänge zu der Minimumaufgabe zu betrachten.

4. Die Lösung nach J. E. Hofmann

Eine der bekanntesten elementargeometrischen Lösungen hat der Mathematikhistoriker Joseph E. Hofmann 1929 in [8] veröffentlicht. Allerdings muß er sich die Entdeckerlorbeeren mit einigen anderen Mathematikern teilen.

Der Hofmannschen Lösung liegt als Leitidee die Erkenntnis zugrunde, daß von allen Streckenzügen mit gleichen Endpunkten die gerade Linie am kürzesten ist. Nach dieser Lösungsstrategie verfährt man z. B. auch bei der Aufgabe, einem gegebenen spitzwinkligen Dreieck ein Dreieck mit minimalem Umfang einzubeschreiben. Bei der uns vorliegenden Aufgabe können wir diese Strategie nicht unmittelbar anwenden. Denn hier handelt es sich nicht um einen Streckenzug, sondern die Strecken gehen von einem gemeinsamen festen Punkt aus. Daher muß zunächst das Streckendreibein in einen Streckenzug übergeführt werden.

1. Phase: Zeichnen einer Konfiguration

Zeichne ABC (alle Innenwinkel < 120°) mit Punkt P im Innern.
Drehe Teildreieck APC um A um 60° AP'C'.

2. Phase: Analyse dieser Konfiguration

Erkennen und begründen, daß der Streckenzug C'P'PB die gleiche Länge wie das "Dreibein" hat. Die Lage der Endpunkte C' bzw. B des Streckenzugs ist unabhängig von der Wahl von P.
Bestimmen der Lage des Minimumpunktes.

Die kürzeste Länge des Streckenzugs erhalten wir, wenn P so gewählt wird, daß P und P' auf C'B liegen.

Wenn ein solcher Punkt P existiert, dann sieht man von P aus alle drei Seiten des

Dreiecks jeweils unter 120°.

Konstruktion des Minimumpunktes

Aus dem Hofmannschen Beweis ergibt sich sofort eine Konstruktionsvorschrift für den Minimumpunkt.

a. Errichte über einer Seite (etwa AC) des

ABC ein gleichseitiges Dreieck.

b. Verbinde die freie Ecke (C') mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt (B) des ABC.

c. Zeichne den Umkreis des gleichseitigen Dreiecks.

Der Schnittpunkt (

C') von Ecktransversale und Umkreis ist der gesuchte Punkt P. Da diese Problemstellung auf Pierre de Fermat zurückgeht, nennt man ihm zu Ehren den Minimumpunkt auch Fermat-Punkt.

Fragen:

Ändert sich die Lösung, wenn wir den Punkt P nicht im Innern des Dreiecks wählen?
Ändert sich die Lösung, wenn die Einschränkung bezüglich der Innenwinkel (< 120°) fallengelassen wird?

5. Konstruieren und Entdecken

Jetzt wählen wir einen anderen Zugang zum Minimumpunkt. Wir konstruieren zunächst einen Punkt in einem Dreieck, von dem aus die Seiten jeweils unter l 20° gesehen werden. Anschließend weisen wir nach, daß der so konstruierte Punkt die gewünschte Minimaleigenschaft besitzt.

Im Anschluß an die Behandlung des Umfangswinkelsatzes bekommen die Schüler folgende Konstruktionsaufgabe:

1. Phase:

Konstruiere einen Punkt F im Innern eines Dreiecks ABC so, daß von F aus alle drei Seiten unter gleichem Winkel zu sehen sind.

Zu dieser ersten Phase gehört noch eine Beweisaufgabe, die in der zweiten Phase eine entscheidende Rolle spielt. Es handelt sich um den sog. "Satz von Viviani":

In einem gleichseitigen Dreieck ist die Summe der Abstände eines beliebigen inneren Punktes von den Seiten immer gleich der Länge der Höhe des Dreiecks.

Die Konstruktionsaufgabe bleibt nicht isoliert, mit ihr wird weitergearbeitet.

2. Phase:

Zeichnen einer Konfiguration (Erweiterung der Konstruktion). Zeichne ein

A₁ B₁ C₁ so um

ABC, daß die entsprechenden Seiten des neuen Dreiecks senkrecht auf FA bzw. FB bzw. FC stehen.

Zeichnung

3. Phase: Entdecken von Beziehungen

Von welcher Art ist A₁ B₁ C₁? (Begründung)
Satz von Viviani bezüglich F anwenden.
Satz von Viviani bezüglich PF im Innern von ABC anwenden.
Betrachte die Summe der Entfernungen von P bzw. F zu den Ecken des ABC.
Welche Aussage ergibt sich?
Gilt diese Aussage für beliebige Dreiecke?

6. Ein Ausflug in die Geschichte

Die zuletzt skizzierte Lösung basiert auf Ergebnissen des Florentiners Vincenzo Viviani (1622-1703), dem letzten Schüler Galileis. Wir befinden uns somit in Italien um die Mitte des 17. Jahrhunderts. Das Minimumproblem stieß damals bei italienischen Mathematikern auf großes Interesse (vgl. dazu [9]). Viviani unterzog es einer allgemeineren Betrachtungsweise, und zwar untersuchte er Entfernungssummen in Vielecken. Die Anwendung seiner Ergebnisse auf das Dreieck liefert eine Lösung der Fermatschen Aufgabe. Obwohl Viviani seine Untersuchungen schon Mitte der 40er Jahre durchführte, veröffentlichte er sie erst 1659 im Anhang des zweiten Bandes seines Werkes "De maximis et minimis divinatio in quintum Conicorum Appollonii Pergaei". Dabei handelt es sich um eine Rekonstruktion des verlorengegangenen 5. Bandes der Kegelschnittslehre des Apollonius von Perge (ca. 262 - ca. 190).

Seine Kenntnis von dem Problem erhielt Viviani durch den Mathematiker und Physiker Evangelista Torricelli (1608-1647). Dieser fand selbst einige Lösungen, u.a. mit Hilfe einer Ellipse. Nach Italien und damit zu Torricelli gelangte die Aufgabe durch den Minoriten-Pater Marin Mersenne (1588-1648), der im Herbst 1644 eine Pilgerreise nach Rom unternahm und dabei u. a. in Florenz Station machte. Im Reisegepäck hatte er Fermats "Abhandlungen über Maxima und Minima". Dies war kein Zufall, denn Mersenne sorgte für den Kontakt zwischen bedeutenden Gelehrten seiner Zeit, er koordinierte gewissermaßen den gelehrten Schriftwechsel. Das war damals neben dem Studium von Monographien die einzige Möglichkeit der wissenschaftlichen Kommunikation. Heutzutage ist uns der Name Mersenne noch im Zusammenhang mit Primzahlen der Form 2P-1 geläufig. Diese sog. Mersenne-Primzahlen spielen eine große Rolle bei der Suche nach immer größeren Primzahlen.

Auf seiner Pilgerfahrt legte Mersenne vor Florenz auch in Bologna einen Halt ein und traf mit Bonaventura Cavalieri (1598-1647) zusammen. Auch er lieferte Beiträge zu dem Minimumproblem. Er erkannte, daß die Winkel des Dreiecks jeweils kleiner als 120° sein müssen, wenn der Minimumpunkt innerhalb des Dreiecks liegen soll, und daß die Seiten des Dreiecks von diesem Punkt unter gleichem Winkel zu sehen sind. Den Punkt selbst konstruierte er mit Hilfe der Umkreise der aufgesetzten gleichseitigen Dreiecke.

7. Ecktransversalen und Fermat-Punkt

Aus dem oben skizzierten Beweis von J. E. Hofmann kann man die Idee entnehmen, den Fermat-Punkt auch als Schnittpunkt von Ecktransversalen zu erzeugen.

7.1. Entdecken durch Konstruieren

Über den Seiten eines beliebigen Dreiecks werden gleichseitige Dreiecke errichtet und deren freie Eckpunkte mit den gegenüberliegenden Eckpunkten des Ausgangsdreiecks verbunden. Die so erzeugten Ecktransversalen sind kopunktal.
Für diese Schnitteigenschaft betrachten wir zwei Beweisvarianten.

1. Nachweis: "Zerstören der Symmetrie"

Die symmetrische Aussage "die drei Ecktransversalen schneiden sich in einem Punkt" wird unsymmetrisch umgedeutet in "eine Ecktransversale geht durch den Schnittpunkt der beiden anderen".

BB₁CC1 = {F}. Verbinde A bzw. A₁ mit F.
Zu zeigen ist: AFA₁ = 180°.

Ebenso zeigt man, daß F auf dem Umkreis des CAB₁ liegt.

Aus (1) und (2) folgt: BFC = 120°
F liegt auf dem Umkreis des CBA₁

Aus (1) und (3) folgt: AFA₁ = AFB + BFA₁ = 180°

Bemerkung:

Aus diesem Beweis ersieht man sofort, daß der Transversalenschnittpunkt der Fermat-Punkt ist.
Der Nachweis für AFA₁ = 180° läßt sich auch auf abbildungsgeometrischer Grundlage führen (vgl. [16]).

2. Nachweis: Mit Hilfe der Umkehrung des Satzes von Ceva.

Wir verwenden hier die trigonometrische Form des Satzes von Ceva zusammen mlt seiner Umkehrung:

Zeichnung

Die Ecktransversalen AY, BZ, CX sind kopunktal

Mit den Längen

erhalten wir aus dem Sinussatz, angewandt auf die Dreiecke ABA₁, BCB₁, CAC₁, ACA₁, BAB₁, CBC₁:

bzw.

Daraus folgt:

also die Kopunktalität der Ecktransversalen (Umkehrung des "Ceva").

7.2. Verallgemeinerung

Bleiben die Ecktransversalen kopunktal, wenn wir die gleichseitigen Dreiecke über den Seiten des Ausgangsdreiecks durch andere, nicht so spezielle Dreiecke ersetzen? Eine Möglichkeit wäre es, Vermutungen aufgrund von Konstruktionen zu äußern (z. B. gleichschenklige Dreiecke, ähnliche Dreiecke). Wir bevorzugen ein gezieltes Vorgehen, das zudem den Vorteil hat, gleichzeitig einen Beweis für die Kopunktalität zu liefern. Dazu prüfen wir nach, für welche Typen von aufgesetzten Dreiecken obiges Beweisverfahren mit der Umkehrung des Ceva noch anwendbar ist. Aus der Ceva-Bedingung (*) können wir folgende Schlüsse ziehen:

Die Bedingung (*) bleibt erfüllt, wenn wir die 60°-Winkel an der Basis der aufgesetzten Dreiecke durch beliebige Winkel ( < 90°) ersetzen. Die Dreiecke sind dann gleichschenklig-ähnlich.
Die Winkel der aufgesetzten Dreiecke an den Eckpunkten des Ausgangsdreiecks müssen nicht alle übereinstimmen. Für das Erfülltsein der Bedingung (*) ist es entscheidend, daß die Winkel an den jeweiligen Eckpunkten des Ausgangsdreiecks gleich sind.

Zeichnung

Jetzt sind die aufgesetzten Dreiecke nicht mehr gleichschenklig. Mit dem Sinussatz läßt sich aber zeigen, daß das verbleibende Produkt von Seitenverhältnissen gleich 1 ist:

Bemerkung:

Die aufgesetzten Dreiecke sind ähnlich,

wenn

gilt.

8. Eigenschaften der Fermat-Figur

Wir betrachten nochmals ein Dreieck mit den nach außen aufgesetzten gleichseitigen Dreiecken. An dieser Figur lassen sich interessante Entdeckungen machen. Ohne Beweis werden einige Beispiele angeführt, um den Leser auf den Geschmack zu bringen.

Zeichnung

Die Mittelpunkte der aufgesetzten Dreiecke bilden die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks N_aN_bN_c. Dieses Dreieck hat in der

Literatur die Bezeichnung "äußeres Napoleondreieck" (vgl. [4]).

Die Ecktransversalen AN_a, BN_b, CN_c sind kopunktal.
Die Dreiecke ABC und N_aN_bN_c besitzen einen gemeinsamen Schwerpunkt.

Natürlich lassen sich die gleichseitigen Dreiecke auch nach innen ansetzen. Diese Konfiguration bietet sich für eine gelenkte Forschungstätigkeit der Schüler an. Sie können überprüfen, ob die Ergebnisse der Konfiguration mit den nach außen angesetzten Dreiecken hier entsprechend gelten. Die bekannten Beweise können als Leitlinie dienen.

Weiterhin gibt es auch Beziehungen zwischen den beiden Fermat-Figuren zu entdecken. So gilt beispielsweise:

, wobei mit k bzw. die Ecktransversalenlängen zu den freien Eckpunkten der nach außen bzw. innen angesetzten gleichseitigen Dreiecke bezeichnet werden.
A(N_aN_bN_c) - A(I_aI_bI_c) = A(ABC), wobei wir mit N_aN_bN_c bzw. I_aI_bI_c das äußere bzw. das innere Napoleondreieck bezeichnen.
A(N_aN_bN_c) + A(I_aI_bI_c) = (A(ABC₁) + A(ACB₁) + A(BCA₁)).

Mit Untersuchungen an der Fermat-Figur befaßten sich bereits im vergangenen Jahrhundert etliche Gymnasiallehrer. In Schulprogrammen machten sie Vorschläge, welche Ergebnisse auch für den Unterricht Verwendung finden könnten. Während z. B. C. L. A. Kunze in seiner Abhandlung [11] lediglich elementargeometrische Hilfsmittel verwendet, arbeitet B. Feaux [5] bei teilweise gleichen Problemen auch mit trigonometrischen Funktionen.

9. Variationen an der Fermat-Figur

9.1. Ein iterativer Erzeugungsprozeß

Die freien Eckpunkte A₁, B₁, C₁ der nach außen aufgesetzten gleichseitigen Dreiecke lassen sich als Eckpunkte eines neuen Dreiecks auffassen. An den Seiten dieses Dreiecks lassen sich wiederum nach außen gleichseitige Dreiecke errichten. Welche Beziehung besteht zwischen dem Fermat-Punkt des Ausgangsdreiecks ABC und dem des Dreiecks A₁B₁C₁?

9.2. Eine Dreieckskonstruktion aus drei gegebenen Punkten

Dreieckskonstruktionen waren in früheren Zeiten in der Schule sehr beliebt, zumindest bei Lehrern, wenn sie die Konstruktion kannten. Diese Thematik wurde aber leider überstrapaziert, und mittlerweile sind solche Aufgaben verpönt. Es beginnt sich aber ein Umdenken abzuzeichnen, wie z. B. die Neuauflage der "Konstruktionsfibel" von Herterich [7] belegt. Die Fermat-Figur liefert die Idee für ein interessantes Beispiel einer Dreieckskonstruktion aus drei gegebenen Punkten. Aufgaben dieser Bauart finden sich auch gelegentlich im Bundeswettbewerb Mathematik (vgl. Aufgabe 4, 1978/I und Aufgabe 3, 1986/I).

Wir zeichnen ein Dreieck ABC (Innenwinkel < 120°) mit nach außen aufgesetzten gleichseitigen Dreiecken. Anschließend wird das Innere der Figur "weggewischt", es bleiben nur die freien Eckpunkte A₁, B₁, C₁ erhalten. Aus ihnen soll nun das ABC (re-)konstruiert werden.

10. Die zum Fermat-Problem gehörende Maximumaufgabe

In engem Zusammenhang mit dem Fermat-Problem steht eine bestimmte Maximumaufgabe. Sie taucht in der Literatur erstmals in der Mitte des 18. Jahrhunderts auf, und zwar in einer Frauenzeitschrift, die sich ausschließlich mathematischen Unterhaltungs- und Knobelaufgaben widmete. Dies klingt erstaunlich, da Frauen, die sich mit Mathematik beschäftigen, heute eher die Ausnahme bilden. Die wenigen am Bundeswettbewerb Mathematik teilnehmenden Mädchen bestätigen diese Feststellung. Die Ansicht des Neurologen Paul Julius Möbius (1853-1907) (vgl. [13]), eines Enkels des Mathematikers August Ferdinand Möbius (1790-1868), daß Frauen in der Mathematik nicht schöpferisch tätig sein können, läßt sich heute leider nur durch wenige Gegenbeispiele widerlegen.

Kommen wir zu der genannten Zeitschrift zurück. "The Lady's Diary or Woman's Almanach", in England zwischen 1704 und 1841 regelmäßig einmal im Jahr erschienen, versprach den Leserinnen "the cultivation of your minds will increase your attractiveness". 1841 fusionierte übrigens diese Zeitschrift mit "The Gentleman's Diary" und erschien bis 1871 unter dem Titel "The Lady's and Gentleman's Diary" (vgl. [1]). Autoren und Leserschaft waren hauptsächlich interessierte Laien.

Im "Lady's Diary" des Jahres 1755 stellte ein Thomas Moss folgendes Problem:

"In the three sides of an equiangular field stand three trees at the distances of 10, 12 and 16 chains from one another; to find the content of the field, it being the greatest the data will admit of."

Was hat nun diese Aufgabe mit dem Fermat-Problem zu tun? Darüber gibt das "Lady's Diary" keine Auskunft. Dies verwundert eigentlich etwas, da der damalige Herausgeber dieses Almanachs, Thomas Simpson (1710-1761), das Fermat-Problem kannte. In seiner 1750 in einer erweiterten und überarbeiteten Ausgabe erschienenen "Doctrine and Application of Fluxions" [17] finden wir die Konstruktion des Fermat-Punktes mit Hilfe der Ecktransversalen. In einer Übungsaufgabe befaßte sich Simpson auch mit dem Problem der Minimierung der gewichteten Summe der Entfernungen. Wir kennen heutzutage den Namen Simpson meist nur noch im Zusammenhang mit einer Formel zur näherungsweisen Berechnung der Fläche unter einer Kurve, der sog. Simpson-Regel. Diese wurde aber schon lange vor ihm entdeckt.

Kommen wir zurück auf die Frage nach dem Zusammenhang zwischen der Aufgabe von Moss und dem Fermat-Problem. Eine Antwort finden wir in J. D. Gergonnes "Annales de Mathematiques Pures et Appliquees". Im ersten Band dieser Zeitschrift aus den Jahren 1810/11 wird die genannte Aufgabe ohne Einkleidung gestellt, also:

"Einem gegebenen Dreieck soll das maximale gleichseitige Dreieck umschrieben werden."

Im darauffolgenden Band (Jahrgang 1811/12) werden Lösungen verschiedener Autoren vorgestellt. Dabei wird auch folgende Beobachtung mitgeteilt:

"Die Seiten des einem gegebenen Dreieck umbeschriebenen maximalen Dreiecks stehen senkrecht auf den Geraden, die die Ecken des gegebenen Dreiecks mit dem Punkt verbinden, von dem aus die Summe der Entfernungen zu diesen Ecken minimal ist. Weiterhin ist die Länge der Höhe dieses maximalen umbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks gleich der Summe der Entfernungen von dem Minimumpunkt zu den Ecken des gegebenen Dreiecks."

Mit der Lösung des Fermat-Problems ist somit gleichzeitig das maximale umbeschriebene gleichseitige Dreieck bestimmt und umgekehrt. Ein Minimum- und ein Maximumproblem, die so miteinander zusammenhängen, heißen zueinander dual. Das Fermat-Problem und die Bestimmung des maximalen gleichseitigen Umdreiecks können somit als die Urväter der Dualitätsprobleme der Optimierungstheorie angesehen werden.

12. Schlußbemerkung

Die Namensgebung für manche Probleme oder Lehrsätze erfolgte oftmals nach später nicht mehr verständlichen Kriterien. So erscheint das hier behandelte Fermat-Problem in dem weitverbreiteten Buch "Was ist Mathematik?" [3] von R. Courant und H. Robins als Steiner-Problem. Die dort angegebene Lösung stammt aber von Torricelli. Eine Begründung für den Namen "Steiner-Problem" wird nicht gegeben. Jakob Steiner (1796-1863) hat zu dem Minimumproblem nicht viel veröffentlicht, wie Schreiber [15] feststellte. Es gibt nur zwei Belege für Steiners Beschäftigung mit dieser Thematik:

Ein Vortrag vor der Berliner Akademie am 13.11.1837 mit dem Titel "Über den Punkt der kleinsten Entfernung".
Ein Artikel im 13. Band von Crelles Journal, in dem u. a. das Problem betrachtet wird.

Damit auch Torricelli und Viviani zu ihrem Recht kommen, müßten wir folglich vom Fermat-Torricelli-Viviani-Steiner-Problem sprechen. Aber da gibt es auch einen Alfred Weber, der sich zu Beginn dieses Jahrhunderts mit der gerichteten Entfernungssumme beschäftigt hat (vgl. [18]).

Der Name des Problems würde ziemlich unhandlich, wenn wir jede der erwähnten Personen berücksichtigen wollten. Es ist auch schwer zu beurteilen, wer den entscheidenden Beitrag lieferte. In diesem Fall ist es sicherlich angebracht, das Problem nach seinem Urheber Fermat zu benennen.

Literatur

[1] Archibald, R. C.: Notes on some minor English mathematical serials. In: Mathematical Gazette14 (1929), S. 379-400

[2] Biermann, K.R.: Die Mathematik und ihre Dozenten an der Berliner Universität 1810-1920. Berlin: AkademieVerlag 1973

[3] Courant, R. u. H. Robbins: Was ist Mathematik? Berlin u.a.: Springer 1973

[4] Coxeter, H. S. M. u. S. Greitzer: Geometry revisited. MAA, 1967 (deutsche Übersetzung: Zeitlose Geometrie Stuttgart: Klett 1983)

[5] Féaux, B.: Ein Lehrsatz der Planimetrie. Schulprogramm Gymnasium Arnsberg 1873

[6] Gruson, J. P.: Eine geometrische Aufgabe über Minima. Abhandlungen der königlichen Akademie der Wissenschaften in Berlin, Mathematische Classe 1816/l7

[7] Herterich, K.: Die Konstruktion von Dreiecken. Stuttgart: Klett 1986

[8] Hofmann, J. E.: Elementare Lösung einer Minimumsaufgabe. In: ZMNU 60 (1929), S. 22-23

[9] Hofmann, J. E.: Über die geometrische Behandlung einer Fermatschen Extremwert-Aufgabe durch Italiener des 17. Jahrhunderts. In: Sudhoffs Archiv 53 (1969), S. 86-99

[10] Kratz, J.: Beziehungsreiche geometrische Problemstellungen aus didaktischer Sicht. In: DdM 16 (1988 ), Heft 3, S. 206-234

[11] Kunze, C. L. A.: Ueber einige theils bekannte, theils neue Sätze vom Dreieck und Viereck, Halle 1848 (1. Auflage als Programm des Gymnasiums Weirnar 1832).

[12] MacKay, J.S.: Isogonic Centres of a Triangle. In: Proc. Edinburgh Math. Soc. 15 (1896-97), S.100-118

[13] Möbius, P.J.: Über die Anlage zur Mathematik. Leipzig: J.A. Barth 1907

[14] Pickert, G.: Minimale Abstandssumme von drei Punkten. In: PM 28 (1986), Heft 3, S. 142-148

[15] Schreiber, P.: Zur Geschichte des sog. Steiner-Weber-Problems. Wiss. Z. Ernst-Moritz-Arndt Univ. Greifswald. In: Math.-nat. wiss. Reihe 35 (1986), S. 53-58

[16] Schupp, H.: Elementargeometrie. Paderborn: Schöningh 1977

[17] Simpson, Th.: The Doctrine and Application of Fluxions. Überarbeitet und herausgegeben von W. Davis, London 1805

[18] Weber, A.: Über den Standort der Industrien. Tübingen: J.C.B. Mohr 1909

Hinweis: Zur Ergänzung der Thematik empfiehlt sich der Artikel "Problem und Satz von Napoleon" von F. Schmidt. In DdM 18 (1990), Heft 1.