Kongruente Dreiecke

I. Einführung und Motivation

Die beiden Freundinnen Steffi und Franzi telefonieren. Franzi hat mit ihrem Vater eine tolle Rampe für Inline-Skates gebaut, die von beiden Seiten befahrbar ist.

Steffi will sich daraufhin die gleiche Rampe bauen und fragt nach den Daten. Franzi gibt ihr die Längen der beiden Schrägen an:

Zwei Wochen später mailen die beiden einander. Franzi schwärmt von ihrer Rampe, während Steffi das Fahren total langweilig findet. "Man bekommt ja fast keinen Schwung." Franzi meint, Steffi soll ihr doch mal ein Bild von ihrer Rampe faxen. Es kommt folgendes Fax:




II. Problemstellung


Fragen an die Schüler: Was haben die beiden falsch gemacht? Was muß Steffi an ihrer Rampe ändern? Wie kann sie sichergehen, daß sie die gleiche Rampe baut?


Durch die Problemstellung sollen die Schüler angeregt werden, selbst der Lösung auf die Spur zu kommen. Wichtig ist dabei, mit möglichst allgemeinen Fragen Hilfestellungen zu geben, in denen eine (Teil-) Lösung keinesfalls vorweggenommen wird. Je allgemeiner die Fragestellungen, desto besser können diese den Schülern auch bei einer anderen Aufgabenstellung weiterhelfen. Ziel ist dabei, daß sich die Schüler diese Fragetechnik mit der Zeit selbst zu eigen machen, um mit Schwierigkeiten beim Aufgabenlösen besser zurecht zu kommen.
Dadurch kann auch die Ausdauer enorm gesteigert werden. Die Schüler müssen nicht auf den Geistesblitz warten (und geben dabei schnell auf), sie können ihn "herbeifragen"...


III. Erarbeitung


Diskussion: Von ungenauen Antworten, z.B. "Rampe steiler, größer bauen", etc., werden die Schüler schließlich zu präzisen Antworten gelangen:
a) die dritte Seite angeben (SSS)
b) Winkel oben angeben (SWS)
c) Winkel rechts angeben (SsW)
d) Winkel links angeben (sSW) Kein Kongruenzsatz ! Hier hat man mit der Alternative (stumpfer Winkel CBA) sowieso keine Rampe
e) Höhe / Seiten- / Winkelhalbierende angeben -> zwei kongruente Dreiecke


zu c) und d): An dieser Stelle ist es zu früh, im Unterricht zwischen S und s zu unterscheiden, da dies für die Schüler noch uneinsichtig ist.
Erst in IV. wird im Rahmen der Beweiskonstruktion darauf eingegangen.


WSW (neue Motivation)

Steffi schafft es also doch noch, die Inline-Skate-Rampe nachzubauen. Als sie aber in einem Prospekt liest, daß die Marken-Rampe auf der einen Seite einen Steigungswinkel von 34°, auf der anderen Seite von 20° hat, überlegt sie, ob diese vielleicht noch besser ist als ihre erste. Kann sie sich damit auch diese Rampe nachbauen?

f) weitere Angabe (Winkel keine neue Angabe). Welche? (li,unten,re) (WSW)

Zwischenergebnis: Zum Übertragen/Vergleichen zweier Dreiecke (z.B. Rampen) sind drei Angaben notwendig.



IV. Beweis (bzw. Widerlegung) der erarbeiteten Sätze

a) SSS Geg.: a=3m, b=4m, c=6m
1. Zeichne c -> A,B
2. Kreis um A mit Länge b: k(A;b) Längentreue
3. k(B;a) Längentreue
4. k(A;b) geschnitten k(B;a) -> Schnittpukte C,D Schnittsatz
5. Verbinden von A und B mit C bzw. D Verbindungssatz

b) SWS

Geg.: c mit Endpunkten A und B, b mit A und C, Winkel u bei A
1.Zeichne c
2.Schenkel S an A abtragen: S(A,u) Punktrichtungssatz (= PRS)
3. k(A,b) => C fest vorgegeben Längentreue
4. Verbinden von C und B Verbindungssatz

c),d) SsW

Geg.: b mit A und C, a mit B und C, Winkel v bei B
1. Zeichne a
2. S(B,v) PRS
3. k(C,b) Längentreue
4. Schnittpunkt(e) mit b Schnittsatz, Verbindungssatz

Hier wird den Schülern der Unterschied von S und s durch die Anzahl der Schnittpunkte sofort einsichtig

e) WSW

Geg.: c mit A und B, Winkel u bei A, Winkel v bei B
1. Zeichne c
2. S(A,u) PRS
3. S(B,v) PRS
4. Schnittpunkt beider Schenkel Schnittsatz, Verbindungssatz



V. Sicherung

durch Aufgaben und Beispiele

Die Aufgaben sind in drei verschiedene Bereiche gegliedert: Mündlich im Unterricht zu bearbeiten, zum Konstruieren und als Ausblick.


A) Mündlich
  1. Wie lauten die Kongruenzsätze für a) rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke b) gleichseitige Dreiecke?

  2. Warum kann kein rechtwinkliges Dreieck zu einem gleichseitigem Dreieck kongruent sein?

  3. Unter welchen Bedingungen sind zwei gleichschenklige Dreiecke kongruent? Welche Maßangaben bestimmen genau ein gleichschenkliges Dreieck?

  4. Sind rechtwinklige Dreiecke kongruent, wenn sie im Maß einer Kathete und eines spitzen Winkels übereinstimmen?

  5. Zeige an einem Beispiel, daß Dreiecke, die in den drei Winkeln übereinstimmen, noch nicht kongruent sein müssen!

  6. Ein Schüler hat beim Ausmessen eines Dreiecks folgende Meßwerte erhalten: a=6cm, b=7cm, Winkel w(BAC) =82° und Winkel w(CBA) =59°. Woran erkennt man auch ohne Nachprüfen der einzelnen Messungen, daß hier ein Fehler vorliegt?

  7. Wieviele Stücke benötigt man für die Konstruktion eines
    a) gleichseitigen
    b) gleichschenkligen
    c) gleichschenklig rechtwinkligen
    d) eines rechtwinkligen Dreiecks ?

  8. Warum zerlegt die Symmetrieachse ein gleichschenkliges Dreieck in zwei kongruente Teildreiecke?


B) Konstruktion
  1. Zeichne ein recktwinkliges Dreieck mit
    a) c=6cm, a=5cm!
    b) c=5cm, w(CBA) =30°!

  2. Zeichne ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck mit w(CBA)=90° und c=a aus
    a) c=4,5cm
    b) b=6cm

  3. Konstruiere ein Dreieck aus folgenden Maßen:
    a) c =6cm, a =5,5cm, w(ACB) =60°
    b) b =6cm, c =5,5cm, w(ACB) =60°
    c) w(BAC) =45°, w(ACB) =90°, a =4cm
    d) a =6cm, b =5,2cm, w(CBA) =52,5°

  4. Warum kann mit den folgenden Größen kein Dreieck konstruiert werden?
    a) a =10,3cm; b =47mm; c =5,6cm
    b) c =6,5cm; b =3cm; w(CBA) =95°

  5. Konstruiere ein Dreieck mit selbst gewählten Maßen für folgende Stücke:
    a) a, w(BAC), w(CBA)
    b) a, b, c
    c) a, b, w(ACB)
    Sind die Maße beliebig?

  6. Im Punkt A eines 20° geneigten Berghanges erhebt sich eine vertikal gewachsene Tanne. Die Sonnenstrahlen, die den Hang unter einem Winkel von 40° schneiden, erzeugen hangabwärts einen Schatten von der Länge AB =5m. Für die 8. Klasse: Konstruiere die Höhe der Tanne im Maßstab 1:100!
    Für eine höhere Klasse: Berechne die Höhe der Tanne!

  7. Von einem Schiff S aus sieht man die Spitze eines Leuchtturms unter einem Erhebungswinkel von 23°, von einem Boot B aus unter einem Erhebungswinkel von 40°. Beide Wasserfahrzeuge befinden sich genau östlich vom Leuchtturm und sind 70m voneinander entfernt. Fertige eine Zeichnung im Maßstab im 1:1000 an und ermittle die Höhe des Leuchtturms!

  8. Die Entfernung der Punkte B und C im Gelände kann aufgrund eines Flußes nicht unmittelbar gemessen werden. Man kann jedoch die Strecken [AC], [AB] und den Winkel BAC messen. Fertige mit folgenden Meßwerten eine Zeichnung im Maßstab 1:6000 an und bestimme die Entfernung BC!
    [AC] =186m; [AB] =264m; Winkel BAC =65°.


C) Ausblick
  1. Die Punkte A(1;5), B(3;1), C(1;1) und D(4;4), E(8;2), F(8;4) bestimmen die kongruenten Dreiecke ABC und DEF. Bilde das Dreieck ABC durch eine möglichst einfache Kongruenzabbildung auf das Dreieck DEF ab. Tip: Beginne mit einer Achsenspiegelung an der Symmetrieache A und D!

  2. Von einer geradlinigen Autostraße zweigt an der Kreuzung A unter einem Winkel von 37,5° eine Straße ab, die ebenfalls geradlinig verläuft. Zwei Autos B und C fahren gleichzeitig an der Kreuzung ab, wobei C auf die Nebenstraße abbiegt.
    Konstruiere die Entfernung [BC] der beiden Autos im Maßstab 1:100.000 für folgende Fälle:
    a) Nach einer Fahrzeit von 6 Min, wenn beide Autos 50 km/Std fahren.
    b) Nach einer Fahrzeit von 10 Min, wenn B 60 km/Std und C 45 km/Std zurücklegen.



VI. Erweiterung

Die Kongruenz zweier Dreiecke wird einem anschaulich dadurch klar, daß man die Dreiecke, aus Papier ausgeschnitten, durch Übereinanderlegen zur Deckung bringen kann.
Diese Deckungsgleichheit kann man mathematisch überprüfen, indem man das eine Dreieck mittels Drehung und/oder Spiegelung auf das andere abbildet.
Da sich die Dreiecke in ihrem Drehsinn unterscheiden können, ergeben sich unterschiedliche Fälle:
  1. gleicher Drehsinn
  2. unterschiedlicher Drehsinn

Der Fall "unterschiedlicher Drehsinn" ist leichter abzuhandeln Deshalb wird er zuerst behandelt.

Unterschiedlicher Drehsinn

Zwei zueinander kongruente Dreiecke A1B1C1 und A2B2C2 mit unterschiedlichem Drehsinn können unabhängig von ihrer Lage zueinander mit folgendem Verfahren aufeinander abgebildet werden:
Man wählt einen beliebigen Eckpunkt des abzubildenden Dreiecks aus, z. B. den Punkt A, und bildet ihn mittels Achsenspiegelung auf den entsprechenden Eckpunkt des zweiten Dreiecks ab. Die dafür notwendigen Konstruktionsmittel sind Lernvoraussetzung.
Bei glücklicher Lage unserer beiden Dreiecke kann es sein, daß wir jetzt schon fertig sind, und das Bilddreieck genau auf dem zweiten Dreieck liegt. Ist das nicht der Fall, so ist noch eine Drehung des Bilddreiecks erforderlich:
Als Drehpunkt dient A1´, und der Drehwinkel entspricht dem Winkel B1´A1´B2. Je nach Lage der ursprünglichen Dreiecke scheinen sich die Winkel B2A1´B1´, C2A1´C1´ oder C1´A1´C2 eher anzubieten, man erhält aber immer dasselbe Bilddreieck A´´B´´C´´.
Die Konstruktionsbeschreibung kann also wie folgt aussehen:

Gleicher Drehsinn

Beim Verfahren für zwei Dreiecke mit unterschiedlichem Drehsinn wurden durch die Achsenspiegelung zwei Ziele auf einmal erreicht: Zum einen ändert sich Drehsinn des Dreiecks, zum anderen wird es verschoben.
Die Umkehrung des Drehsinns ist in diesem Fall nicht nötig, das Dreieck muß folglich nur verschoben werden. Dies wird durch zweimaliges Abbilden des ersten Dreiecks mittels Achsenspiegelung erreicht. Man wählt also wieder einen beliebigen Eckpunkt des ersten Dreiecks und bildet ihn, jetzt durch zweifache Achsenspiegelung, auf den entsprechenden Eckpunkt des zweiten Dreiecks ab. Natürlich entfällt dieser Schritt, wenn die beiden Dreiecke von Anfang an einen Eckpunkt gemeinsam haben (im Gegensatz zu Fall 1, dort ist die Achsenspiegelung wegen der Drehsinnumkehr unverzichtbar). Haben das abzubildende Dreieck und das zweite Dreieck einen gemeinsamen Punkt P, so wählt man diesen analog zu Fall 1 als Drehpunkt und dreht Dreieck 1 um den Winkel A1´PA2 (bzw. B1´PB2).

Hinweis:

Natürlich kann man die beiden Achsen der Achsenspiegelungen geeignet wählen, so daß keine Drehung mehr erforderlich ist. Allerdings ist es didaktisch sinnvoller, zuerst obige Methode in der Klasse einzuführen, da sie mit der des ersten Falles eng verwandt ist und somit keinerlei Verständnisschwierigkeiten zu erwarten sind.


Das Rampenproblem als Internetdokument für Schüler