Allgemeine Berechnung

Durch Integration der Parameterdarstellung der Käferbahn (6) erhält man sofort:

 

$$L_n= \int _0^ \infty \vert \dot{\alpha} (t)\vert dt= \frac... ...frac{\pi}{n}} \quad \mbox{f\uml {u}r} \quad 3 \leq n < \infty .$$ (7)

Satz 3  Das Produkt aus Bahnlänge eines Käfers und Seitenlänge S_n des anfänglichen regulären n-Ecks mit Umkreisradius R ist unabhängig von der Eckenzahl n konstant. Es gilt:

 

$$L_n \cdot S_n=2R^2.$$ (8)

Beweis: Für die Seitenlänge S_n eines regulären n-Ecks gilt allgemein:

$$S_n=2R \cdot \sin \frac{\pi}{n} \; .$$

Mit (7) folgt daraus die Behauptung.
q.e.d.

Folgerung 3  Im Spezialfall des Quadrats (n=4) als Ausgangspolygon stimmt die Bahnlänge L₄ mit der Kantenlänge S₄ des Quadrats überein.

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