Die Teilungspunkte der Käferbahn

 

Bezüglich der Teilungspunkte der Bahnkurve können wir folgenden Satz aufstellen:

Satz 4  Hat ein Käfer den k-ten (k $\in$ N) Teil seiner Bahnlänge durchlaufen, so hat sich sein Abstand zum Zielpunkt um den k-ten Teil seines anfänglichen Abstands verringert.

Beweis: Betrachte hierzu ohne Einschränkung Käfer A₁. Zum Startzeitpunkt beträgt nach (7) die von Käfer A₁ zu durchlaufende Bahnlänge $\frac{R}{\sin \frac{\pi}{n}}$ und sein Abstand zum Zielpunkt ist gleich dem Umkreisradius R des Startpolygons.

Sei A₁' die Position des Käfers zum Zeitpunkt t' und s', $s' \in \: ]0,1]$, der zugehörige Parameterwert der Gleichung (5) der Käferbahn. Da sich der Käfer zu jedem Zeitpunkt der Verfolgung auf einem regulären n-Eck befindet , also auch zum Zeitpunkt t', gibt der zum n-Eck dieses Zeitpunkts gehörende Umkreisradius R' wiederum den aktuellen Abstand zum Zielpunkt an.

Applet zum Beweis (3 n 10).

Der Abstand zum Zielpunkt hat sich zum Zeitpunkt t' also um den

 

$$\frac{R}{R-R'} \; \; {\rm -ten \; Teil}$$ (10)

verringert.

Da das von den Käfern zum Zeitpunkt t' gebildete n-Eck andererseits auch als Startpolygon einer neuen Verfolgung angesehen werden kann, beträgt die noch zu durchlaufende Strecke bis zum Zielpunkt $\frac{R'}{\sin \frac{\pi}{n}}$ . Das heißt im Zeitpunkt t' hat der Käfer bereits eine Stecke vom Betrag $\frac{R-R'}{\sin \frac{\pi}{n}}$zurückgelegt. Das ist folgender Teil der Gesamtstrecke:

$$k = \frac{ \frac{R}{\sin \frac{\pi}{n}}}{\frac{R-R'}{\sin \frac{\pi}{n}}}=\frac{R}{R-R'} \; .$$

Daraus folgt mit (10) die Behauptung.
q.e.d.

Folgerung 4  Die k-ten Teilungspunkte der Käferbahnen können somit unabhängig von n mit dem Zirkel konstruiert werden, indem man um den Zielpunkt einen Kreis mit Radius

$$r=R \cdot (1- \frac{1}{k})$$

schlägt und diesen mit den Bahnkurven der Käfer schneidet.

Applet: Konstruktion der k-ten Teilungspunkte der
Käferbahnen (n 3, k 1).

Folgerung 5  Halbierungspunkt (k=2):
Mit dem Erreichen seiner Bahnmitte hat ein Käfer auch seinen Abstand zum Zielpunkt halbiert.

Variiert man die Eckenzahl n und betrachtet dabei die logarithmischen Spiralen, die die Käfer im Laufe ihrer Verfolgung beschreiben, stellt sich bezogen auf die Thematik dieses Abschnitts zum einen die Frage, bei welchem Parameterwert die Käfer erstmals eine volle Drehung um den Zielpunkt ausgeführt haben und zum anderen, welchen Bruchteil der gesamten Bahnlänge sie nach dieser Umrundung noch zurückzulegen haben.

Applet: Umrundungen des Zielpunkts.

Betrachtet man hierzu die vorläufige Parametrisierung unserer Bahnkurve (4), so können wir direkt ablesen, daß die Käfer beim Parameterwert $t^*= \frac{2\pi}{\cos \frac{\pi}{n}}$das Ziel zum ersten Mal umrundet haben.

Diesem Parameterwert t^* entspricht der Parameterwert $s^*=e^{-2 \pi \cdot \tan \frac{\pi}{n}}$ unserer endgültigen Parametrisierung (5). Der Abstand R^* der Käfer vom Zielpunkt beträgt daher in diesem Moment:

$$R^*=R \cdot s^* \: .$$

Bezogen auf die gesamte Bahnlänge haben die Käfer also noch den Bruchteil

 

$$p_n = \frac{R^*}{R}= s^* = e^{-2 \pi \cdot \tan \frac{\pi}{n}}$$ (11)

der Gesamtstrecke zurückzulegen.

Will man nun wissen, ab welcher Eckenzahl n nach der ersten vollen Umrundung des Zielpunktes noch mindestens der Bruchteil p_n der Bahnlänge zu durchlaufen ist, folgt :

$$n \ge \frac{\pi}{\arctan{ \left( - \frac{\ln p_n}{2\pi} \right)}} \; .$$

Dies bedeutet zum Beispiel, daß die n Käfer, die in einem regulären Polygon mit einer Eckenzahl n größer 28 starten, nach der ersten Umrundung des Zielpunkts noch $50\%$ oder mehr ihrer gesamten Bahnlänge zurückzulegen haben.

Oder: Bei einer Eckenzahl $n \ge 1965$ haben die Käfer nach der ersten Umrundung gerade einmal höchstens $1 \%$ der Bahnlänge zurückgelegt!

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