Allgemeine Problemstellung

Schielwinkelproblemstellungen treten in den verschiedensten Lebensbereichen auf. Will man beispielsweise auf dem Rummelplatz an der Schießbude einen vorbeigleitenden Holzhasen treffen, muß man beim Schuß einen gewissen Punkt vor dem Ziel anvisieren. Im Fachjargon heißt dieser Winkel zwischen Visier- und Schußlinie Vorhalt. Er entspricht genau dem Schielwinkel des hier zur Diskussion stehenden Verfolgungsproblems:

In Abwandlung von der Hundekurve nach Bouguer weicht bei den Schielwinkelkurven die Bewegungsrichtung des Verfolgers von der Visierlinie ständig um einen vorgegebenen konstanten Winkel $\sigma$, den sogenannten Schielwinkel, ab. Hundekurven sind folglich ein Spezialfall dieser Verfolgungsvorschrift, nämlich ,,Schielwinkelkurven ohne Schielwinkel``.

Bevor wir uns den angenäherten Verlauf einer Schielwinkelkurve im Applet ansehen, wollen wir kurz die vorliegende Problematik mathematisch formulieren. Dabei werden wir unsere Betrachtungen auf den Fall eines geradlinig flüchtenden Ziels beschränken:

Seien Q(0) und P(0) die Startpositionen der punktförmigen Akteure in der Grundebene $\Pi$, also die des Ziels (Q') und des Verfolgers (P'). Beide starten gleichzeitig und verfolgen dabei folgende Strategien:  

Fluchtstrategie:

Das Ziel Q' flüchtet mit der konstanten Geschwindigkeit u entlang einer Geraden l' der Grundebene $\Pi$.

Verfolgungsstrategie:

Der Verfolger P' eilt dem Ziel in der Ebene $\Pi$ mit der konstanten Geschwindigkeit v derart nach, daß seine Bewegungsrichtung mit der Visierlinie P'Q' stets einen festen gegebenen Schielwinkel $\sigma$ einschließt.

Applet: Schielwinkelverfolgung

 Die Fluchtgeschwindigkeit u darf null sein. Wie man im nachstehenden Applet sieht, ergeben sich in diesem Spezialfall als Verfolgerbahn logarithmische Spiralen mit dem ruhenden Ziel Q'(=Q(0)) als Pol. (Begründung: Die Bewegungsrichtung des Verfolgers P' stimmt mit der Tangente an die Schielwinkelkurve überein. Die Verfolgerbahn schneidet folglich jeden von Q(0) ausgehenden Strahl jeweils unter dem gleichen Winkel, dem Schielwinkel $\sigma$, womit die Fundamentaleigenschaft der logarithmischen Spiralen erfüllt ist.)

Applet: Schielwinkelverfolgung bei ruhendem Ziel.

Die Herleitung der Bahngleichung der Schielwinkelkurven im Normalfall eines wirklich vor dem Verfolger flüchtenden Ziels wird uns natürlich weit mehr Mühe bereiten. Wir wollen aber der trockenen rein analytischen Lösungsmethode eine geometrische vorziehen, die Walter Wunderlich 1957 erstmals veröffentlichte. Ihr Vorteil liegt zweifellos in ihrer Anschaulichkeit. Sie bleibt mit ihren Betrachtungen nicht in der zweidimensionalen Verfolgungsebene stecken, sondern geht eine Dimension weiter und liefert dort faszinierende Ergebnisse, die sich geradezu für eine Präsentation in Appletform anbieten.

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