Projektion des Weg-Zeit-Diagramms

 

Durch eine geeignete Zentralprojektion des Weg-Zeit-Diagramms erhalten wir erste Hinweise auf den Verlauf unserer Verfolgerschicksalslinie k. Diese Projektion liefert uns nämlich eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung für den Zentralriß k[c] von k. (Das Anhängsel ,,[c]`` soll im folgenden die zentralprojizierten Objekte kennzeichnen.)

Die Herleitung der besagten Differentialgleichung erfolgt in zwei Etappen, die von der Betrachtung im Raum in die Ebene führen. Beide sind mit Hilfe der Applets gut nachvollziehbar. Dies setzt natürlich voraus, daß die Konstruktionen, die in den Applets beschrieben sind, aufmerksam mitverfolgt werden!

Applet: Zentralprojektion des Weg-Zeit-Diagramms (I).

Reduziert man diese im Raum gewonnenen Erkenntnisse auf die Grundebene $\Pi$, wird ersichtlich, daß der Fluchtpunkt T[c] der Tangente t an eine beliebige Verfolgerposition P allein mit Kenntnis der Werte von Q(0), d[c] und $\sigma$ konstruiert werden kann:

 Wir betrachten dazu den Zentralriß P[c] der Verfolgerposition P und verbinden diesen mit Q(0). Im obigen Applet haben wir eingesehen, daß die dabei entstehende Gerade P[c]Q(0) die Visierrichtung anzeigt. Nach Vorgabe des Schielwinkelkurvenproblems erhalten wir aus dieser die Laufrichtung des Verfolgers P', indem wir die Visierlinie im Punkt P[c] um den Schielwinkel $\sigma$drehen. Ferner haben wir im Applet festgestellt, daß die Laufrichtung auch durch die Gerade T[c]O' angezeigt wird und der Punkt T[c] auf dem Distanzkreis d[c] liegt. Wir können deshalb den Tangentenfluchtpunkt T[c] konstruieren, indem wir die erhaltene Laufrichtung parallel in den Punkt O' verschieben und mit dem Distanzkreis d[c] schneiden.

Auf diese Weise wird jedem Punkt P[c] in der Ebene $\Pi$ eine gewisse Fortschreitung t[c]:=P[c]T[c] zugeordnet. Dies und die oben beschriebene Konstruktion kann nun im Applet nachvollzogen werden.

Applet: Zentralprojektion des Weg-Zeit-Diagramms (II).

An dieser Stelle sei erwähnt, daß der Ort der Winkelscheitel offensichtlich ein Kreis ist. Wir werden diese Beobachtung bald aus mathematischer Sicht bestätigt bekommen.

Aber nun zurück zu unserer gesuchten Verfolgerschicksalslinie k. Ihr Zentralriß k[c] setzt sich ja aus den soeben betrachteten Zentralrissen P[c] der Verfolgerpositionen P zusammen. Die aus den Punkten P[c] konstruierten Fortschreitungen t[c] sind somit die Tangenten an diese Kurve k[c]. Folglich ist der Zentralriß k[c] eine Integralkurve des Richtungsfeldes {P[c],t[c]} und unser Verfolgungsproblem ist vorerst auf das Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung zurückgeführt.

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