Hilfssätze über Kegelschnitte

 

Die Hilfssätze dieses Abschnitts werden uns die Berechnung des Zentralrisses k[c] der Verfolgerschicksalslinie k ermöglichen.

Hilfssatz 1  Gegeben sei ein Kegelschnitt c in der Ebene $\Pi$, der einen Kreis $c^\circ$ in zwei Punkten U und V berührt. Der Schnittpunkt der gemeinsamen Tangenten an c und $c^\circ$ in U und V sei mit W bezeichnet.
Sei ferner X$\not=$U,V ein beliebiger Punkt von c und $X^\circ$ der Schnittpunkt der Tangente im Punkt X an c mit dem Kreis $c^\circ$.
Dann transformiert jene Kollineation $\Phi$, die die Punkte U, V und W einzeln festläßt und X nach $X^\circ$ bringt, auch jeden weiteren Punkt Y von c auf den entsprechenden Tangentenschnittpunkt $Y^\circ$ von $c^\circ$.

Applet zum Hilfssatz 1.

Beweis: Ziehe eine zweite Kollineation $\Psi$ in Betracht, die ebenfalls U, V und W einzeln festläßt, aber X nach Y bringt. $\Psi$ transformiert somit c und daher auch $c^\circ$in sich und es gilt: $\Psi$(X)=Y und $\Psi$($X^\circ$)=$Y^\circ$.
Die Kollineationen $\Phi$ und $\Psi$ besitzen dasselbe Fixdreieck, weshalb sie vertauschbar sind. Damit ergibt sich der behauptete Zusammenhang:

$$\Phi (Y)=\Phi (\Psi (X))=\Psi (\Phi (X))=\Psi (X^\circ )=Y^\circ .$$

q.e.d.

Hilfssatz 2  Sei F das Brennstrahlbüschel von c und $F^\circ$ das Durchmesserbüschel von $c^\circ$. Dann bringt die Kollineation $\Phi$aus Hilfssatz 1 F nach $F^\circ$.

Applet zum Hilfssatz 2.

Beweis: Sei S der Schnittpunkt der Tangenten an c in X und Y und $S^\circ$ der entsprechende Schnittpunkt der Tangenten an $c^\circ$ in $X^\circ$ und $Y^\circ$. Dann gilt: die Kollineation $\Phi$ bringt S nach $S^\circ$.
Wählt man speziell für $X^\circ$ und $Y^\circ$ die absoluten Kreispunkte, so fällt $S^\circ$ in die Kreismitte $F^\circ$ und S in den Schnitt von zwei isotropen Kegelschnittstangenten, also in einen bestimmten Brennpunkt F von c. Es gilt folglich wie behauptet: $\Phi$(F)=$F^\circ$.
q.e.d.

Die soeben bewiesene Zuordnung ist wegen der entsprechenden Minimalstrahlenpaare nicht nur projektiv, sondern sogar gleichsinnig kongruent, weshalb ferner gilt:

Folgerung 6  Die Geraden XF und $X^\circ F^\circ$ schließen für beliebige Punkte X von c mit $\Phi$(X)=$X^\circ$ einen konstanten Winkel $\sigma$ ein. Ort der durch die gleichsinnig kongruenten Büschel F und $F^\circ$ entstehenden Winkelscheitel ist ein gewisser Kreis h, der natürlich die Fixpunkte U, V und W enthält und die Büschel F und $F^\circ$ selbst. Auch der zweite Brennpunkt G des Kegelschnitts c liegt aus Symmetriegründen auf dem Kreis h.

Applet zur Folgerung 1.

Wird der Brennpunkt G des Kegelschnitts c als Ort des Winkelscheitels angesehen, ergibt sich daraus sofort:

Folgerung 7  Die Hauptachse des Kegelschnitts c und die Strecke $FF^\circ$schließen den Schielwinkel $\sigma$ ein.

Applet zur Folgerung 2.

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