Die Verfolgerschicksalslinie als spezielle W-Kurve

 

Im folgenden sei K ein eigentlicher Trägerkegel 2. Grades mit Spitze O und Fernebene $\omega$, c der reguläre Fernkegelschnitt von K und d der K in den uneigentlichen Punkten U und V doppelberührende Böschungsfernkreis mit Berührungspol W.

Wir wählen einen Punkt P₀ beliebig auf K, jedoch mit der Einschränkung, daß P₀ weder in der Fernebene $\omega$ noch auf einer der Erzeugenden OU und OV liegt.

Unser Ziel ist die Bestimmung einer durch P₀ gehenden Böschungslinie k des Trägerkegels K, deren sämtliche Tangenten den Fernkreis d treffen. Diese Forderung spiegelt sich in unserem Diagramm im Schnitt der Fluchttangenten mit dem Distanzkreis d[c] wider und gewährleistet somit, daß die Verfolgerlinie k - wie gewünscht - konstant mit $45^\circ$ gegen die Grundebene ansteigt.

Zur Bestimmung der Verfolgerlinie k wählen wir in einer genügend kleinen Umgebung von P₀ einen weiteren Oberflächenpunkt P₁ von K derart, daß die Verbindungsgerade P₀ P₁ die besagte Eigenschaft besitzt, den Fernkreis d in der Fernebene zu schneiden.

Applet: Wahl des Punktes P₁ auf dem Trägerkegel K.

 Sei nun $\kappa$ jene wohlbestimmte Affinität, welche die Punkte O, U, V und W einzeln festläßt und den Punkt P₀ auf den Punkt P₁ abbildet. Mit anderen Worten besitzt die Affinität $\kappa$ das Fixtetraeder OUVW. Da der Kegel K dieses Fixtetraeder längs den Kanten OU und OV berührt, wird K vermöge $\kappa$ in einen gleichartigen Kegel übergeführt, der ebenfalls den Punkt P₁ (als Bild des Punktes P₀ unter $\kappa$) enthält. Daher ist der durch die Kollineation $\kappa$eindeutig festgelegte Kegel mit unserem Trägerkegel K identisch.

 Aus dieser Invarianz des Trägerkegels K unter der Affinität $\kappa$ können wir nun sofort auf die Invarianz der Fernebene $\omega$ schließen, die wiederum die des Fernkegelschnitts c nach sich zieht. Somit reiht sich letztlich auch unser Fernkreis d in die Gruppe der $\kappa$-invarianten ein, da dieser aus dem Fernkegelschnitt c durch eine invariante Zentralkollineation mit dem Zentrum W und der Achse UV abgeleitet werden kann.

Die Kollineation $\kappa$ beziehungsweise ihre Umkehrabbildung $\kappa ^{-1}$ wollen wir nun wiederholt von P₀ ausgehend anwenden. Als Ergebnis erhalten wir eine beiderseits unendliche Punktfolge ..., P_-2, P_-1, P₀, P₁, P₂, ... auf dem Trägerkegel K, die durch Hinzunahme der Verbindungsstrecken aufeinanderfolgender Punkte zu einem Polygon P ergänzt werden kann. Dieses Polygon P ist in den Trägerkegel K einbeschrieben und gegenüber der von der Affinität $\kappa$ erzeugten diskontinuierlichen Affinitätsgruppe $\kappa ^n$ (n ganz) invariant. Wegen der besonderen Wahl des Punktes P₁ schneiden alle Seiten des Polygons P den Fernkreis d.

Führen wir nun abschließend den Grenzübergang P₁ gegen P₀ durch, konvergiert nach S. Lie das invariante Polygon P gegen eine auf der Trägerfläche K verlaufende Kurve k, die gegenüber einer kontinuierlichen Affinitätsgruppe $\kappa ^n$ (n beliebig) unempfindlich ist und deren sämtliche Tangenten den Fernkreis d treffen.

Somit haben wir letztendlich unsere gesuchte Verfolgerschicksalslinie k als Bahnkurve einer eingliedrigen kontinuierlichen Gruppe automorpher Affinitäten unseres Trägerkegels K gefunden. Im Sinne von F. Klein ist die Verfolgerlinie k also eine spezielle W-Kurve (Bahnkurve eingliedriger Affinitätsgruppen).

Im Falle eines dem Ziel an Geschwindigkeit überlegenen Verfolgers ($\epsilon$ <1) ist die Basis k[c] des Trägerkegels K eine Ellipse. Folglich wird der Böschungsfernkreis d den Kegel K umschließen; als Resultat mündet die Verfolgerlinie k in die Kegelspitze O. Da O ebenfalls ein Punkt der Ziellinie l ist, haben wir mit der Kegelspitze O den Schnittpunkt der Schicksalslinien l und k, also den Treffpunkt von Ziel und Verfolger vor uns.

Wir wollen diese Ergebnisse nun in einem Satz zusammenfassen.

Satz 6  Die Schicksalslinie des Verfolgers beim Schielwinkelkurvenproblem ist eine spezielle, auf einem Kegel oder Zylinder 2. Grades verlaufende W-Kurve, die Bahnkurve einer kontinuierlichen eingliedrigen Gruppe von automorphen Affinitäten des Böschungsfernkreises. Im Falle eines dem Ziel an Geschwindigkeit überlegenen Verfolgers stellt die Kegelspitze den Schicksalspunkt des Treffereignisses dar.

Offensichtlich erhalten wir die in der Grundebene $\Pi$ verlaufende absolute Schielwinkelkurve k' als Grundriß der soeben erhaltenen Schicksalslinie k, also durch senkrechte Parallelprojektion von k auf die Grundebene $\Pi$.

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