Kegelschnitte als Isochronen

In diesem Abschnitt wollen wir es nicht bei einem Verfolger belassen, sondern wollen gleich mehrere - für die mathematische Auswertung unendlich viele ($\infty ^1$) - Verfolger gleichzeitig und mit der gleichen Schielwinkelstrategie (das heißt gleicher Schielwinkel $\sigma$ und gleiche Verfolgergeschwindigkeit v) auf unser mit der Geschwindigkeit u flüchtendes Ziel ,,loslassen``.

Dies soll natürlich nicht willkürlich geschehen, sondern wie bei jedem vernünftigen Wettlauf werden wir unseren Verfolgern eine gewisse Startordnung vorgeben: alle Verfolger müssen auf demselben Basiskegelschnitt k[c] starten. Dieser ist

durch das Geschwindigkeitsverhältnis $\epsilon$, den Zielstartpunkt Q(0), die Fluchtgerade l' und eine bestimmte Verfolgerstartposition P(0) in der Grundebene $\Pi$ eindeutig festgelegt.

Bevor wir aber mit theoretischen Überlegungen fortfahren, wollen wir einen derartigen Wettlauf im Weg-Zeit-Diagramm betrachten, um mit der Problemstellung vertrauter zu werden.

Applet: Schicksalslinien mehrerer auf dem Basiskegelschnitt startender Verfolger

(

= 60°,

= 3/10).

Scheinbar treffen im Fall einer Ellipse als Basiskegelschnitt alle Verfolger gleichzeitig auf das Ziel und zwar in der Spitze des Trägerkegels. Diese Beobachtung werden wir nun mathematisch herleiten.

Dazu wenden wir auf die $\infty ^1$ möglichen Verfolgerstartpositionen des Kegelschnitts k[c] die

kontinuierliche Affinitätsgruppe $\kappa ^n$ an. Auf diese Weise erhalten wir $\infty ^1$ auf dem Trägerkegel oder -zylinder K liegende W-Kurven.

Die Punkte P einer bestimmten Kegelerzeugenden besitzen denselben Zentralriß P[c] auf dem Basiskegelschnitt k[c], da die Kegelspitze mit dem Zentralprojektionszentrum übereinstimmt. Ferner kann der Fluchtpunkt T[c] der Tangente t an den Punkt P aus P[c] eindeutig konstruiert werden, so daß auch T[c] allen Punkten einer Kegelerzeugenden gemein ist.

Applet: Parallele Tangenten an die Punkte einer Kegelerzeugenden.

Allgemein gilt für eine Zentralprojektion, daß alle Originalgeraden, deren Bilder denselben Fluchtpunkt besitzen, parallel sind. Auf den Tangentenfluchtpunkt T[c] angewandt bedeutet dies, daß die Tangenten aller Punkte einer Kegelerzeugenden parallel sind. Bei den $\infty ^1$ W-Kurven handelt es sich folglich um Böschungslinien desselben Anstiegs.

Ferner sind die $\infty ^1$ W-Kurven untereinander ähnlich, da sie durch die zentrischen Ähnlichkeiten $\kappa$ ($\kappa \in \kappa ^n$)von der Kegelspitze O aus untereinander vertauscht werden. Dabei können auch komplexe Ähnlichkeitsfaktoren auftreten.

Betrachten wir nun die Verfolgung zu einem festen Zeitpunkt t, so befinden sich die $\infty ^1$ Verfolgerpositionen P auf gleicher Höhe ($v \cdot t$) über der Grundebene $\Pi$, also auf einer bestimmten Schichtenlinie des Trägerkegels K. Hosemann bezeichnet die Grundrisse dieser Schichtenlinien deshalb als Isochronen (Orte des gleichen Zeitpunkts). Da wir diese als Schnitt des Kegels K mit der zu $\Pi$ parallelen Ebene $\Pi '$ im Abstand $v \cdot t$ zu $\Pi$ erhalten, handelt es sich bei den Isochronen um zum Zentralriß k[c] ähnliche Kegelschnitte und wir können sie analog zu k[c] anhand des Geschwindigkeitsverhältnisses $\epsilon$differenzieren.

Es handelt sich um $\left\{ \begin{array} {l@{\quad falls \quad \epsilon}c@{1}l@{}} Ellipsenisochr... ...Parabelisochronen, & = & , \ Hyperbelisochronen, & \gt & .\end{array} \right.$

Wegen der gleichen Fortbewegungsgeschwindigkeit v aller $\infty ^1$ Verfolger sind die Bahnabschnitte zwischen zwei Isochronen gleich lang.

Im folgenden Applet können wir unsere bisherigen Erkenntnisse für den Fall eines an Geschwindigkeit unterlegenen Ziels nachvollziehen.

Applet: Ellipsenisochronen.

Auffallend sind im Applet die beiden geradlinigen Verfolgerbahnen U[c]O' und V[c]O'. Wir können beobachten, daß alle übrigen Verfolgerbahnen im Laufe des Wettlaufs in die geradlinige Verfolgerbahn U[c]O' einmünden und die Verfolger auf diesen Bahnen gleichzeitig von hinten auf das Ziel treffen. Hosemann nannte diese spezielle Verfolgerkurve U[c]O' deshalb den stabilen Kollissionskurs. Dahingegen gab er dem zweiten geradlinigen Kurs V[c]O' den Namen instabiler Kollissionskurs, da der Verfolger dieser Bahn als einziger von vorn auf das Ziel stößt.

Ferner teilen die beiden geradlinigen Kollissionskurse die Ebene offensichtlich in zwei Sektoren auf: das Gebiet innerhalb des spitzen Winkels U[c]O'V[c] und dessen Komplement. Wie leicht zu erkennen ist, sind zwei Schielwinkelkurven innerhalb desselben Sektors reell ähnlich. Dahingegen weisen je zwei Kurven aus verschiedenen Sektoren komplexe Ähnlichkeitsfaktoren auf.

Wir wollen die in diesem Abschnitt gewonnenen Erkenntnisse in zwei Sätzen zusammenfassen:

Satz 8  Alle Verfolger mit gleicher Geschwindigkeit und gleichem Schielwinkel, die dasselbe an Geschwindigkeit unterlegene Ziel zur gleichen Zeit und am gleichen Ort treffen, befinden sich in jedem Augenblick auf einer gewissen Isochronenellipse, in deren einem Brennpunkt jeweils das Ziel steht.

Satz 9  Alle Schielwinkelkurven mit gleichem Geschwindigkeitsverhältnis und gleichem Schielwinkel sind untereinander ähnlich, wobei unter Umständen komplexe Ähnlichkeitsfaktoren auftreten können.

Diese Webseite ist nicht mehr aktuell. Zur neuen Lehrstuhl-Homepage gelangen Sie hier.