Klassifikation der Schielwinkelkurven

Anhand der von uns erarbeiteten Eigenschaften können wir die Schielwinkelkurven klassifizieren.

Zunächst wollen wir festhalten, daß wir uns bei der Einteilung der Schielwinkelkurven auf spitze Schielwinkel ($\left\vert \sigma \right\vert$ $\leq$ $90^\circ$) beschränken können. Zum einen sind spitze Schielwinkel für eine wirkliche Verfolgung unerläßlich und zum anderen bedeutet dies auch geometrisch keine wesentliche Einschränkung: Im Falle einer stumpfwinkligen Schielwinkelverfolgung wirkt sich eine Umkehr des Bewegungssinns beider Akteure bei gleichzeitiger Reduktion des stumpfen Schielwinkels um $\pm$ $180^\circ$ auf einen spitzen Winkel nicht auf die Gestalt der Schielwinkelkurve aus. Diese Invarianz der Verfolgerkurve können wir anhand des folgenden Applets gut nachvollziehen.

Applet: Invarianz der Verfolgerkurve bei Bewegungsumkehr und Winkelreduktion um 180°

Auch den eingangs bereits gelösten trivialen Grenzfall $\epsilon =0$ wollen wir bei der Klasseneinteilung unberücksichtigt lassen.

Wunderlich schlägt als erstes Einteilungskriterium das Geschwindigkeitsverhältnis $\epsilon$ (>0) vor, wobei er allerdings den Spezialfall der Schielwinkelkurve mit rechtem Schielwinkel gesondert betrachtet. [11, S. 287] Auf diese Weise ergeben sich vorläufig folgende vier Hauptkategorien:

1.

$0< \epsilon <1$, $\left\vert \sigma \right\vert$ < $90^\circ$: Treffer. Das Ziel ist dem Verfolger an Geschwindigkeit unterlegen, weshalb das Ziel im Endlichen eingeholt wird. Es ergeben sich Ellipsen als Isochronen.

2.

$\epsilon =1$, $\left\vert \sigma \right\vert$ < $90^\circ$: Nachläufer. Das Ziel ist dem Verfolger ebenbürtig, weshalb es erst im Unendlichen eingeholt wird. Es ergeben sich Parabeln als Isochronen.

3.

$\epsilon \gt 1$, $\left\vert \sigma \right\vert$ < $90^\circ$: Flüchter. Der Verfolger ist dem Ziel an Geschwindigkeit unterlegen, weshalb er sich ab einem bestimmten Zeitpunkt immer mehr von diesem entfernt und es folglich nie erreicht. Es ergeben sich Hyperbeln als Isochronen.

4.

$\left\vert \sigma \right\vert$ = $90^\circ$: Querläufer. Der Verfolger hat keine Aussicht, das Ziel zu erreichen, da er sich stets quer zur Visierlinie bewegt.

Als zweites Einteilungskriterium führt Wunderlich das Realitätsverhältnis der Berührungspunkte U und V der Trägerfläche K mit dem Böschungsfernkreis d an. Da sich diese Doppelberührung in der Berührung des Basiskegelschnitts k[c] mit dem Distanzkreis d[c] in den Punkten U[c] und V[c] widerspiegelt, gibt uns die Lage des Berührungspols W[c] in Bezug auf d[c] Aufschluß über dieses Verhältnis.

Applet: Realitätsverhältnis der Berührungspunkte.

Wir erhalten also als Realitätsverhältnis:

$$O'W[c]:O'O = \frac{O'Q(0)}{\sin \sigma} : O'O = \frac{\frac{u}{v}}{\sin \sigma} = \frac{\epsilon}{\sin \sigma} \: .$$

Gemäß üblichem Sprachgebrauch können wir somit nach Wunderlich folgende zweite Einteilung der Schielwinkelkurven vornehmen:

a)

$\left\vert \sin \sigma \right\vert < \epsilon$ :Hyperbolischer Fall. U und V sind reell-getrennt.

b)

$\left\vert \sin \sigma \right\vert = \epsilon$ :Parabolischer Fall. U und V sind zusammengerückt.

c)

$\left\vert \sin \sigma \right\vert \gt \epsilon$ :Elliptischer Fall. U und V sind konjugiert-imaginär.

Die Kombination der beiden obigen Einteilungskriterien liefert uns schließlich folgende acht reellen Klassen von Schielwinkelkurven:

1a)

Hyperbolischer Treffer.

1b)

Parabolischer Treffer.

1c)

Elliptischer Treffer.

2a)

Nachläufer (schlechtweg).

3a)

Flüchter.

4a)

Hyperbolischer Querläufer.

4b)

Parabolischer Querläufer (entspricht der Kombination 2b).

4c)

Elliptischer Querläufer.

Diese Klasseneinteilung kann natürlich auch auf die Relativbahnen der Verfolger im Zielsystem ausgedehnt werden.

Jede der angegebenen Klassen bedarf nun rechnerisch einer unterschiedlichen Behandlung. Da der Sinn der vorliegenden Abhandlung aber nicht in einer erschöpfenden Diskussion der verschiedenen Schielwinkelgleichungen gesehen werden darf, sondern vielmehr dem Betrachter den von Wunderlich dargestellten geometrischen Zugang plastisch näherbringen soll, werden wir im folgenden nur den in der Anwendung wichtigsten Fall des Hyperbolischen Treffers rechnerisch auswerten.

Die Diskussion der übrigen Schielwinkelgleichungen möge der interessierte Leser selbst bei Wunderlich nachlesen. [11, S. 293 ff.]

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