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Bei der Verfolgung gemäß dem Käferproblem handelt es sich um
eine spielerische Variante von
Bouguers Hundekurven.
Während die Verfolgungsstrategie dieselbe bleibt (der Verfolger
hält ständig auf sein Ziel zu), wird die klassische
Rollenverteilung Ziel-Verfolgter hier aufgehoben: Jeder Verfolger
ist zugleich auch Verfolgter und umgekehrt. Die exakte
Aufgabenstellung lautet wie folgt:
Ausgehend von den Ecken eines regulären n-Ecks verfolgen
sich die n Vergleichbare Fangspiele von Kindern, die sich nicht entscheiden wollen, wer wen fängt, enden meist im gemeinsamen kreisförmigen Umrunden eines Tisches oder eines anderen sperrigen Gegenstandes. Dies läßt uns vermuten, daß auch unsere Käfer im Laufe der Verfolgung irgendwelche bogenförmige Kurven beschreiben. Im Applet können wir die gegenseitige Verfolgung der Käfer simulieren und mitverfolgen:
Offensichtlich bewegen sich die Käfer auf spiralförmigen Bahnen, bis sie alle gleichzeitig im Mittelpunkt des Ausgangspolygons aufeinanderstoßen. Gab es von Anfang an keinen eindeutigen Verfolger, so geht am Ende keiner der Käfer eindeutig als Sieger hervor. Der Form nach zu urteilen, handelt es sich bei den Bahnkurven der Käfer um logarithmische Spiralen mit dem Mittelpunkt des Ausgangspolygons als Pol. Diese Vermutung wollen wir natürlich nicht als solche im Raum stehen lassen. Wir werden die Verfolgung der Käfer im regulären n-Eck mathematisch durchleuchten, um uns Gewißheit über die Bahn der Käfer zu verschaffen. Neben der Art der Kurve werden wir auch die Frage nach deren Gleichung, ihrer Länge und eventuellen Teilungspunkten beantworten. |
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mathematischen Käfer A1,A2,...,An
(scarabaeus mathematicus) in zyklischer Reihenfolge. Dabei bewegen
sich alle mit der gleichen konstanten Geschwindigkeit v vorwärts
und orientieren ihre Bewegungsrichtung ständig neu, so daß diese
immer auf ihren jeweiligen Vorderkäfer zeigt.
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