Sätze zum Käferproblem

Die in diesem Abschnitt angeführten Sätze und Folgerungen bilden den Grundstock unserer mathematischen Untersuchungen bezüglich des Käferproblems.

Satz 1  Zu jedem Zeitpunkt der Verfolgung im regulären n-Eck bilden die n Käfer ein entsprechendes reguläres n-Eck.

Beweis: Zum Ausgangszeitpunkt t₀ bilden die n Käfer A₁,A₂,...,A_n nach Voraussetzung ein reguläres n-Eck. Sei nun $t' = t_0 + \Delta t$ der Zeitpunkt der ersten Neuorientierung der Käfer in die Richtung ihres Vorderkäfers.

Applet zum Beweis (3 n 10).

Zu diesem Zeitpunkt t' haben die n Käfer bereits jeweils die Strecke $\overline{A_i A_i '}$ ($1 \le i \le n$) zurückgelegt. Wegen der gleichen Fortbewegungsgeschwindigkeit v aller n Käfer gilt $\overline{A_1 A_1 '}=...=\overline{A_n A_n '},$weshalb die Dreiecke A_i ' A_i+1 ' A_i+1 ($1 \le i \le n$ und $n+1 \equiv 1$ mod n) kongruent sind. Die n Käfer bilden folglich zum Zeitpunkt t' ein gleichseitiges n-Eck, dessen Regularität man sofort durch eine einfache Winkelbetrachtung verifizieren kann.

Induktiv folgt nun für jeden weiteren Neuorientierungszeitpunkt die Regularität des von den Käfern gebildeten n-Ecks.

Wegen der ständigen Neuorientierung der Käfer während der Verfolgung (das heißt $\Delta t \to 0$) folgt schließlich die Behauptung für jeden beliebigen Zeitpunkt der Verfolgung.
q.e.d.

Satz 2  Der Koordinatenursprung liege im Zentrum des Ausgangspolygons. Dann schließt der Ortsvektor $\alpha (t)$ eines Käfers mit seinem zugehörigen Geschwindigkeitsvektor v(t) zu jedem Zeitpunkt der Verfolgung einen konstanten Winkel $\lambda _n$ ein. Es gilt:

$$\lambda _n= \frac{\pi}{2}(1+ \frac{2}{n}).$$ (1)

Beweis: Der Geschwindigkeitsvektor ist nach Voraussetzung zur Strecke $\overline{A_i A_{i+1}}$ ($1 \le i \le n$) parallel. Zerlegt man das reguläre n-Eck in geeignete Dreiecke, so erhält man:

Applet zum Beweis (3 n 10).

$$\lambda_n=\pi-(\frac{\pi-\frac{2\pi}{n}}{2})=\frac{\pi}{2}(1+\frac{2}{n}).$$

q.e.d.

Folgerung 1  Da der Winkel zwischen dem Ortsvektor und dem Geschwindigkeitsvektor und damit dem Tangentenvektor konstant ist, handelt es sich bei der Bahnkurve der Käfer um logarithmische Spiralen.

Applet: Logarithmische Spiralen
als einzelne Bahnkurven.

Ferner gilt für $\lambda _n$ mit $n \to \infty$:

$$\lim_{n \to \infty } \lambda _n = \lim_{n \to \infty } \frac{\pi}{2}(1+\frac{2}{n}) =\frac{\pi }{2}.$$

Folgerung 2 Die Bahnkurve der Käfer entartet für sehr große n zu einem Kreis.

Setzen wir im obigen Applet n=10.000, können wir dies auch optisch nachvollziehen.

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