Die Gleichung der Käferbahn

 

Die Bahnkurve der Käfer ist eine logarithmische Spirale. Nun wollen wir deren exakte Gleichung herleiten. Sei dazu $\alpha (t)$ der Ortsvektor einer der n Käfer, wobei der Koordinatenursprung im Polygonzentrum liege. Ferner sei v(t) der zu $\alpha (t)$ gehörige Geschwindigkeitsvektor, so daß gilt:

$$\dot { \alpha }(t)= \frac{d}{dt} \alpha (t)=v(t)$$

und

$$\measuredangle (\alpha (t), \dot{\alpha}(t) )=\lambda_n.$$

Fassen wir unser Verfolgungskoordinatensystem als komplexe Zahlenebene auf, erhalten wir ohne Einschränkung (gegebenenfalls durch eine geeignete Parametertransformation):

 

$$\dot{\alpha}(t)=\alpha(t)\cdot e^{i\lambda _n}.$$ (2)

Durch Komponententrennung ergibt sich daraus mit
$\alpha (t)=(r(t) \cdot \cos \varphi (t),r(t) \cdot \sin \varphi (t))$:

$$\begin{array} {c} \cos \varphi \cdot ( \dot{r}-r \cdot \cos ... ...os \varphi \cdot( \dot{\varphi }- \sin \lambda _n)=0\end{array}$$

Wegen $r \not \equiv 0, \; \varphi \not \equiv 0, \frac{\pi}{2}$ und $\cos ^2 \varphi \not \equiv \sin ^2 \varphi$ gilt ferner:

 

$$\dot{r}=r \cdot \cos \lambda _n \; , \; \dot{\varphi}= \sin \lambda _n \; .$$ (3)

Bezeichnet R den Umkreisradius des Startpolygons und $\varphi _0$den Startwinkel, erhalten wir mit der Anfangsbedingung $\alpha (0)=(R \cdot \cos \varphi _0, R \cdot \sin \varphi _0)$ nach Integration dieser Differentialgleichungen (3):

$$r(t)=R \cdot e^{t \cdot \cos \lambda _n} , \; \varphi (t)=t \cdot \sin \lambda _n + \varphi _0.$$

Mit $\sin \lambda _n= \cos \frac{\pi}{n}$, $\cos \lambda _n= - \sin \frac{\pi}{n}$ ) ergibt sich deshalb aus (2) folgende vorläufige Parameterdarstellung der Käferbahn:

 

$$\alpha (t) = R \cdot e^{-t \cdot \sin \frac{\pi}{n}} \cdot ... ...n ( t \cdot \cos \frac{\pi}{n}+\varphi _0) \end{array} \right).$$ (4)

Diese Darstellung der Käferbahn ist deshalb vorläufig, da noch die Voraussetzung der über die Verfolgung hinweg konstanten Geschwindigkeit v erfüllt werden muß. Bisher gilt nämlich:

$$\vert v(t)\vert = \vert \dot{\alpha} (t)\vert=R \cdot e^{-t \cdot \sin \frac{\pi}{n}},$$

das heißt die Käfer bewegen sich im Laufe der Verfolgung mit stets abnehmender Geschwindigkeit auf das Polygonzentrum zu.

Die Einführung des Parameters $s:=e^{-t \cdot \sin \frac{\pi}{n}}$liefert uns jedoch sofort die gewünschte Lösung unseres Käferproblems:

 

$$\alpha (s)= R \cdot s \cdot \left( \begin{array} {c} \cos (... ...n} \cdot \ln s+ \varphi_0) \end{array} \right), \; s \in ]0,1],$$ (5)

denn nun gilt wirklich, daß die Geschwindigkeit v konstant ist:

 

$$\vert v(s)\vert= \left\vert \frac{d}{ds} \alpha(s) \right\v... ...c{dt}{ds} \right\vert= \frac{R}{ \sin \frac{\pi}{n}}=konstant.$$ (6)

Diese Webseite ist nicht mehr aktuell. Zur neuen Lehrstuhl-Homepage gelangen Sie hier.