Satz:

Jedes Tangentenviereck ist genau dann auch ein Sehnenviereck, wenn seine Berührsehnen senkrecht aufeinander stehen.


Es sind zwei Richtungen zu zeigen (s1 und s2 seien die Berührsehnen):

1.
ABCD Tangentenviereck und $s_1 \bot s_2 \Rightarrow$ ABCD ist Sehnenviereck.
2.
ABCD Sehnen-Tangenten-Viereck $\Rightarrow$ $s_1 \bot s_2$




1.:
Es gilt: $\sphericalangle SB_4A=\epsilon_1=\sphericalangle SB_2D$, denn die Tangenten AB und CD (gemeinsamer Schnittpunkt Z) bilden ein gleichschenkliges Dreieck ZB4B2.
Ebenso gilt: $\sphericalangle AB_3S=\epsilon_2=\sphericalangle BB_1S$.
Im Viereck B4SB3A gilt:
$\alpha+\epsilon_1+\epsilon_2+90^\circ=360^\circ \Rightarrow \alpha=
360^\circ-90^\circ-\epsilon_1-\epsilon_2.$
Im Viereck B1CB2S gilt:
$180^\circ-\epsilon_2+180^\circ-\epsilon_1+\gamma+90^\circ=360^\circ
\Rightarrow \gamma=-90^\circ+\epsilon_1+\epsilon_2$.
Daraus folgt: $\alpha+\gamma=180^\circ$ und ABCD ist Sehnenviereck.


2.:
Da ABCD Sehnenviereck ist, gilt:
$\alpha+\gamma=180^\circ$
$\Rightarrow \sphericalangle B_4SB_3=360^\circ-(\alpha+\epsilon_1+\epsilon_2)$.
$\sphericalangle B_1SB_2=360^\circ-\gamma - (180^\circ-\epsilon_1) - (180^\circ-\epsilon_2)$.Weil beide Winkel gleich sind gilt:
$2\cdot \sphericalangle B_4SB_3=360^\circ-(\alpha+\gamma) + (\epsilon_1+\epsilon_2) -
 (\epsilon_1+\epsilon_2)=360^\circ-180^\circ=180^\circ$.
$\sphericalangle B_4SB_3=90^\circ$ und s1 und s2 stehen aufeinander senkrecht.




Dr. Wolfgang Neidhardt
9/19/1997