Parallelogramme mit Inkreis

Wir haben hier die Winkelhalbierenden wa, wb, wc, wd eingezeichnet. M ist Schnittpunkt von wa und wd und bildet den Mittelpunkt eines Berührkreises an AD, DC und AB. Es fällt auf, daß gegenüberliegende Winkelhalbierende parallel sind und anliegende Winkelhalbierende aufeinander senkrecht stehen (warum?). Ebenfalls experimentell läßt sich erkennen, daß genau im "Rautenfall" je zwei gegenüberliegende Winkelhalbierende zusammenfallen und somit ein Inkreis existiert. Wie kann man das geometrisch begründen?