Quadratkonstruktion dynamisch

Wir haben hier die Lösungpunkte A,B,C und D konstruiert. Vorgabe ist dabei, dass man die beiden Kreise k1 und k2 (entlang der gemeinsamen Verbindungslinie) gegeneinander bewegen kann (bei gleichbleibenden Radien). Bewegen Sie die (roten) Kreismittelpunkte und erörten Sie, wann es überhaupt Lösungen geben kann und welche Spezialfälle auftreten.

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Experimente mit der Quadrataufgabe:

Wir haben hier mögliche Fragen und Aufgaben für Schüler, die mit der Quadrataufgabe experimentieren, zusammengestellt.

  1. Bewege der Kreis k1 frei. Innerhalb welcher Punktmenge muß der Mittelpunkt M1 liegen, damit es überhaupt Lösungen gibt? Konstruiere diese Punktmenge auch - mache dir ein dynamisches Bild und verdeutliche die Grenzen. Ziehe jetzt M1 (und damit k1) entlang der Strecke T1T2. Beschreibe wieder, wann es Lösungen für das Quadrat ABCD gibt. Wann nimmt das Quadrat maximale, wann minimale Größe (=Diagonallänge) an?

  2. Beim stetigen `Ziehen' von M1 Richtung M2 wird das Quadrat erst geringfügig größer und dann wieder kleiner. Warum ist das so? Beschreibe geomtrisch! Wann ist das 'relative Maximum' erreicht? Tip: Konstruiere dir zunächst einen Punkt L1 auf k1, für den gilt: M1L1 senkrecht auf M1M2.

  3. Starte wieder in der Ausgangslage (das GEONET-Logo anklicken!). Gib analoge Beschreibungen bei der Bewegung von M2 entlang M1M2 bzw. bei Veränderung der Radien der Kreise k1 bzw. k2 (das kann durch `Ziehen` der Punkte R1 bzw. R2 entlang der Strecke MZ am unteren Bildschirmrand geschehen).

  4. Betrachte beide Quadratlösungen zusammen in einer Zeichnung. Können die beiden Quadrate auch gleichgroß werden?

  5. Verallgemeinerung: Die grauen Punkte T1 und T2 sind 'Trägerpunkte' der Verbindungsgeraden M1M2. Man kann damit ihre Lage verändern. Ab wann treten Außen- und Innenberührungen zwischen den Kreisen k1 und k2' auf? Spezialisierung: Was geschieht in dem besonderen Fall, wenn M1M2 senkrecht auf g steht? Beschreibe auch den Spezialfall, daß k1 und k2 gleichgroße Radien besitzen und betrachte dafür auch beide Lösungen zusammen.

  6. Funktionale Betrachtungsweise: Zeichne (qualitativ - per Hand) eine Funktion d(x), die die Diagonallänge des Quadrats abhängig vom Abstand x des Punktes T1 zu M1 darstellt. Zur Probe kann man sich eine solche Funktion auch im 'Spurpunktmodus' zeichnen lassen. Wie ändert sich (qualitativ) die Funktion, wenn man die Trägergerade T1T2 so weit dreht, daß sowohl Außen- als auch Innenberührungen vorkommen? Beschreibe zunächst mit Worten und laß dir dann als Kontrolle den Funktionsgraphen zeichnen.

  7. Zeichne die Funktion d(x) für den Spezialfall 5. bei gleichgroßen Radien der Kreise k1 und k2. Was vermutet man? Berechne zur Kontrolle auch d(x) (um einfache Zahlenwerte zu bekommen, nimm T1T2 als x-Achse, g als y-Achse und gib dir r1=r2=1 vor. Der feste Kreis k2 habe seinen Mittelpunkt bei (2,0), T1 befinde sich bei (-6,0)). Beschreibe die Funktion d(x). Warum ist sie an einer Stelle nicht definiert? Argumentiere geometrisch und rechnerisch. d(x) läßt sich (rein rechnerisch) an der zunächst nicht definierten Stelle stetig fortsetzen. Wie groß wäre in diesem Fall das Quadrat? Wieso ist diese stetige Fortsetzung für die (geometrische) Behandlung des ursprüglichen Problems nicht sinnvoll? Zeichne (dynamisch) alle Quadrate, die in diesem Spezialfall möglich sind. In welchem Bereich bewegen sich die Diagonaldurchmesser für diesen Fall?

  8. Betrachte nochmals den Fall, daß M1M2 senkrecht auf g steht. k1 und k2 sollen jetzt aber unterschiedliche Radien haben. Spezialisiere (zur Vereinfachung) zunächst, indem du dieselben Voraussetzungen wie bei 7. wählst, wobei k1 jetzt den Radius 2 habe. Zeichne und berechne wie in 7. die Funktionsgleichung y=d(x) der Diagonallänge des Quadrats abhängig vom Abstand x=T1M1. Graue Punkte auf MZ helfen den richtigen Radius einzustellen. Gib den Definitionsbereich der Funktion an. Berechne auch die auftretenden Asymptoten. Was fällt auf im Vergleich zu 7.?

  9. Rechne jetzt allgemein (wie bei 8. aber) mit r1=r (Radius des Kreises k1) - die Verwendung eines Computer-Algebra-Systems (z.B. DERIVE) ist dazu hilfreich - und zeichne die Funktionenschar dr(x) für Radius-Werte r=1,2,3,4. Was geschieht, wenn r<1 gewählt wird? Warum gibt es auf einmal Extremwerte? Liegen diese immer innerhalb des jeweiligen Definitionsbereichs? Zeichne ein Bild, das die Funktionenschar für r-Werte größer, kleiner und gleich 1 enthält. Interpretiere es geometrisch. Gehe auch auf die Symmetrie ein. Gib für allgemeines r den zugehörigen (auf das geometrische Problem bezogenen) Definitionsbereich von dr(x) an (Fallunterscheidung!). Welche Wertebereiche treten auf?

  10. Berechne die relativen Minima der Funktionen dr(x) aus 9. einerseits mit Hilfe von geometrischen Überlegungen , andererseits mit Hilfe der Differentialrechnung .