Grenzwertbetrachtung mit Hilfe geometrischer Reihen

Ausgehend von folgendem modifizierten Käferproblem kann die Länge der Käferbahn im Quadrat durch eine Grenzwertbetrachtung hergeleitet werden:

Die vier Käfer A₁,...,A₄ orientieren sich im folgenden nicht ständig neu in Richtung ihres Vorderkäfers, sondern behalten ihre einmal eingeschlagene Richtung solange bei, bis sie p-mal (0<p<1) den Abstand zu ihrem Vorderkäfer zurückgelegt haben. Erst dann orientieren sie sich erneut in Richtung ihres Vorderkäfers und legen wiederum p-mal den aktuellen Abstand zurück und so weiter.

Applet: Modifiziertes Käferproblem (0 p 1).

Mit Hilfe der Lösungsformel für geometrische Reihen läßt sich die Länge der Bahnkurve für dieses modifizierte Käferproblem leicht berechnen. Schließlich wird uns die Grenzwertbetrachtung $p \to 0$ zur Bahnlänge unseres herkömmlichen Käferproblems (im Quadrat) führen:

Sei mit

• $d_j \: (j \in \bf N)$ der Abstand zwischen zwei sich verfolgenden Käfern im Zeitpunkt der j-ten Orientierung in Richtung des jeweiligen Vorderkäfers
• $c_j \: (j \in \bf N)$ die Länge des von den Käfern zwischen der j-ten und (j+1)-ten (Neu-)orientierung zurückzulegenden Weges

bezeichnet.

Applet: Bezeichnungen.

Folglich gilt:

• $c_j=p \cdot d_j$ für alle $j \in {\bf N}$
• $d_j=q \cdot d_{j-1}$ für alle $j \in {\bf N}$ (Satz des Pythagoras),
  wobei $q:= \sqrt{p^2+(1-p)^2} \in \: ]0,1[$ für $p \in \:]0,1[$.

Somit erhält man folgende Rekursionsformel für die Folge $(c_j)_{j \in {\bf N}}$ der von den Käfern im Laufe der Verfolgung zurückzulegenden Wegstücke:

$$\begin{array} {c} c_j = q \cdot c_{j-1} \; \; \; {\rm f\uml {u}r \; alle} \; \; \; j \in {\bf N}.\end{array}$$

Wie man sieht, handelt es sich bei der Folge $(c_j)_{j \in {\bf N}}$ um eine geometrische Folge und man erhält als explizite Darstellung ihre Glieder:

 

$$c_j = c_1 \cdot q^{j-1} \; \; \; {\rm f\uml {u}r \; alle} \; \; \; j \in {\bf N}.$$ (9)

Für die Länge der Bahnkurve bis zum Zeitpunkt der m-ten ($m \geq 2$) Orientierung L_4,m ergibt sich also:

$$L_{4,m} = \sum _{j=1}^{m-1} \: c_1 \cdot q^{j-1}=c_1 \cdot \... ...-q^{m-1}}{1-q} \; , \; \; \vert q\vert < 1 \; , \; \; m \geq 2$$

(endliche geometrische Reihe).

Die gesamte Bahnlänge L₄ des modifizierten Käferproblems beträgt folglich

$$L_{4}= \sum_ {j=1}^ \infty \: c_1 \cdot q^{j-1}= \frac{c_1}{1-q} \; , \; \; \vert q\vert<1$$

(unendliche geometrische Reihe).

Mit $p \to 0$ ergibt sich als Bahnlänge L₄ unseres allgemeinen Käferproblems wiederum:

$$\begin{eqnarray*} L_{4} & = & \lim_{p\to 0} \: \sum_{j=1} ^\infty \: \frac{c_1}... ...)}{2-2p} \nonumber \ [0.5ex] & = & d_1 \ [2ex] & = & S_4 \: .\end{eqnarray*}$$

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