Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik

		Universität Bayreuth Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik
				Geometrie zum Anfassen

Platonische Körper

Allgemeine Bemerkungen

Jennifer's Puzzle

Vier kleine Tetraeder (Seitenlänge a), ein Oktaeder (Seitenlänge a), ein großes Tetraeder (Seitenlänge 2a) und ein Würfel (Länge der Seitendiagonalen 2a) bilden die Puzzelteile von Jennifer's Puzzle.

Ziel ist es, die fünf Tetraeder und das Oktaeder in den Würfel zu legen, wobei es erlaubt ist, die einzelnen Körper ihrerseits beliebig ineinanderzulegen.

Lösung

Man setzt das Puzzle zusammen, indem man die vier kleinen Tetraeder und das Oktaeder geschickt in das große Tetraeder und schließlich dieses ebenso geschickt in den Würfel legt.

Bastelanleitung

Basteln der Tetraeder

Schneide acht der folgenden Streifen
Streifen fuer kleine Tetraeder

und zwei dieser Streifen aus.
Streifen fuer grosses Tetraeder

Knicke die Streifen entlange der gestrichelten Linien nach oben. Lege je zwei der Streifen gemäß folgender Abbildung aufeinander.

Bringe die beiden äußeren Dreiecke des waagrecht liegenden Streifens zur Deckung. So entsteht ein Tetraeder, bei dem noch eine Lasche übersteht. Diese Lasche führt man entlang den Seiten des Tetraeders und steckt das letzte Dreieck intuitiv in den vorhandenen Schlitz unter die Tetraederfläche, auf der es sonst zu liegen kommen würde.

Basteln des Oktaeders

Schneide vier der folgenden Streifen aus.
Streifen fuer Oktaeder

Falte entlang der gestrichelten Linien nach oben.
Lege die Papierstreifen (wie im ersten Schritt der folgenden Abbildung zu sehen) übereinander, wobei sich die Streifen zum Tisch hin wölben. Hefte die oberen Dreiecke mit einer Büroklammer zusammen.
Netz zum Oktaederbasteln

Falte die Streifen zu einer Doppelpyramide (wie im zweiten Schritt der Abbildung zu sehen ist), indem das mittlere Dreieck des linken Streifens unter das mittlere Dreieck des rechten Streifens gelegt und das unterste Dreieck des rechten Streifens unter das unterste Dreieck des linken Streifens geführt wird. Fixiere die Dreiecke mit einer Büroklammer. Ebenso verfährt man mit den beiden anderen Streifen.

Setze die zweite Doppelpyramide (wie im dritten Schritt zu sehen ist) über die Erste. Die angegebenen Pfeile verdeutlichen die nächsten Teilschritte. Bereits nach dem ersten Teilschritt erhält man ein Oktaeder, das durch die nächsten beiden Teilschritte stabilisiert wird. Die letzte Lasche wird wieder in den passenden Schlitz des Modells gesteckt.

Basteln des Würfels

Schneide drei der folgenden Streifen aus.
Streifen fuer Wuerfel

Nimm einen der drei Streifen und klemme das erste und letzte Quadrat mit einer Büroklammer zusammen. Lege einen zweiten Streifen so um das dadurch entstandene Würfelgerüst, dass die Enden des zweiten Streifens über einem Loch im Gerüst zusammentreffen (Abbildung 1).
Stecke den dritten Streifen (Abbildung 2) unter einem Quadrat des Würfels durch und versenke die Enden dieses Streifens in den Schlitzen der gegenüberliegenden Würfelseite.
Faltanleitung fuer den Wuerfel

Jennifer's Puzzle

Nun das Puzzle zusammensetzen, indem die vier kleinen Tetraeder und das Oktaeder in das große Tetraeder geschichtet werden und dieses wiederum in den Würfel.

Anregung einiger Volumenbetrachtungen

Es bieten sich folgende Betrachtungen an:

Berechnung der Anteile des Oktaedervolumens und der Tetraedervolumina am Würfelvolumen.
Oktaedervolumen im Vergleich zum Volumen des großen Tetraeders.
Vergleich des Volumens des Oktaeders und der vier kleinen Tetraeder.
...

Weiterführend können folgende Fragen aufgeworfen werden:

Ein gegebenes Tetraeder soll in einen kleinstmöglichen Würfel eingefügt werden. Wie lang ist die Seitenlänge dieses Würfels?
Wie groß ist das Volumen eines Oktaeders im Vergleich zu einem Tetraeder gleicher Seitenlänge?