Universität Bayreuth

Seminar: Klassische Probleme der Antike

Rudolf Stopfer

08.06.1997

 

Die Verdoppelung des Würfels

 

Die Verdoppelung des Würfels ist das am wenigsten beachtete der drei berühmten geometrischen der griechischen Mathematik.

 

Mit Zirkel und Lineal, als einzige Hilfsmittel, lassen sich die Kanten der Länge nicht konstruieren.

 

Hippokrates von Chios (ca. 440 v. Chr.) machte zur Lösung des Problems folgenden Schritt:

Setze:

 

bzw. (*)

 

Die Aufgabe ist es also, zwischen 1 und 2, allgemeiner zwischen a=1 und b zwei mittlere Proportionale einzuschalten. In dieser Form ist das Problem in einer großen Anzahl behandelt worden.

 

1. Lösung nach Menaichmos (ca. 360 v. Chr.)

Aus dem ersten und dem letzten Glied von (*) folgt xy=ab. D. h. es sind zu dem gegebenen Rechteck ab flächengleiche Rechtecke zu konstruieren. Man kann sie für beliebige Werte von x durchführen und erhält eine Kurve, die von Apollonios Hyperbel genannt wurde.

 

 

 

 

 

 

 

Aus den ersten beiden Gliedern der Proportion (*) erhält man . Geht man von x als unabhängiger Variabler aus, so hat man jeweils zu dem Quadrat über x das Rechteck mit der Seite a zu zeichnen, das dieselbe Fläche hat. Statt nun auch y als unabhängige Variable anzusehen, gehen wir von den beiden letzten Gliedern der Proportion aus:

Sie besagt: y ist die mittlere Proportionale zwischen b und x. Sie kann z. B. als Höhe des rechtwinkligen Dreiecks mit Hypothenusenabschnitt b und x konstruiert werden. (vgl. Abb. 2)

 

 

 

 

 

 

 

Als Schnittpunkt der Hyperbel und der Parabel errechnet sich der Punkt:

S (

Für a=1 und b=2 folgt:

S

 

Es ist möglich, daß Menaichmos nur die Parabel und die Hyperbel kannte, zwar nicht als Kegelschnitte, aber als geometrische Orte.

Es ist nicht erwiesen, daß die gezeigten Konstruktionen von Menaichmos stammen.

 

 

2. Lösung nach Eratosthenes (ca. 260 v. Chr.)

Für zwei ungleichen, gegebenen Strecken und sollen zwei mittlere Proportionale gefunden werden. Nach dem Verfahren nach Eratosthenes werden drei identische Rechteckplatten konstruiert, deren einheitliche Höhe beliebig gewählt werden kann. Die Grundseite dieser Rechteckplatten sei die vorgegebene Strecke . An wird die vorgegebene Strecke angetragen und anschließend sollen die Diagonalen der Rechtecke eingezeichnet werden.

Die Punkte G und E werden durch eine Gerade verbunden. Danach schiebt man die oberen beiden Rechtecke nach unten, so daß die sich die Diagonalen dieser Rechtecke mit der sich dadurch verändernden Geraden auf der oberen Seite des darunter liegenden Rechtecken in den Punkten H und I schneiden.

und sind die gesuchten mittleren Proportionalen.

 

 

 

 

 

 

In Abb. 4 sind und parallel, und parallel: Þ

; So verhalten sich auch und .

Analog: ; Daraus folgt: , , und bilden (stetige) Proportionen.

und bilden die mittleren Proportionalen zu und .

 

 

3. Lösung nach Apollonius (ca. 210 v. Chr.)

Apollonius fand eine andere Lösung: Nimm ein Rechteck OBDA mit den Längen der Seiten a und b. Ziehe einen Kreis um den Schnittpunkt E der Diagonalen mit dem Radius, so daß die Schnittpunkte G und F des Kreises mit den verlängerten Seiten von und mit dem Eckpunkt des Rechtecks D auf einer Geraden liegen.

 

 

Bei der Konstruktion muß das Lineal im Punkt D festgehalten und so lange probiert werden, bis die Abstände und gleich sind. besitzt dann die Länge . In Abb. 4 wird deutlich, daß die Dreiecke BDF und AGD zueinander ähnlich sind. Es gilt:

Nach dem Satz des Pythagoras, angewandt auf die Dreiecke

KEG und JEF, folgt:

Multipliziert mit und unter Verwendung von xy=ab folgt:

 

Da folgt: bzw. x=

 

 4. Die Verdoppelung des Würfels nach Nikomedes (ca. 240 v. Chr.)

und seien zwei gegebene Strecken, zwischen denen zwei mittlere Proportionale konstruiert werden sollen. Man vollende das Parallelogramm ABCD und halbiere die Seiten und in den Punkten E und F. Man verlängere bis zum Schnittpunkt G mit (!). Man ziehe und bestimme Z so, daß wird. Man ziehe parallel zu . Man ziehe von Z aus eine Strecke zu der Verlängerung von , so daß . (Diese Neusis-Konstruktion kann durchgeführt werden, indem man die Gerade mit einer Kochloide mit "Pol" Z, "Lineal" und "Abstand" schneidet.)

Schließlich verlängere man und bis zum Schnittpunkt M. Dann sind und die gesuchten mittleren Proportionalen zwischen und .

Genau genommen ist die Strecke überflüssig. Aus den Proportionen: und folgt: .

Daraus folgt: und sind die gesuchten mittleren Proportionalen zwischen und :

Beweis: Die Dreiecke ADM, BKM und CKD sind ähnlich:

Nach dem Satz von Pythagoras gilt für das Dreieck ZKF:

5. Lösung nach Archytas

Archytas von Tarent löst das Problem der Konstruktion von zwei mittleren Proportionalen zwischen zwei gegebenen Strecken folgendermaßen:

Zwei Strecken und seien gegeben. Man beschreibe um die größere Strecke einen Kreis ABCZ und darin eine Sehne, die verlängert die in C gezogene Tangente des Kreises in X trifft. Man ziehe parallel zu und errichte über dem Halbkreis ABC einen Halbzylinder und über einen senkrechten Halbreis, der in dem Rechteck des Halbzylinders liegt. Wenn dieser Halbkreis nun (senkrecht stehend) von C weg nach B hin gedreht wird, während das andere Ende A des Durchmessers fest bleibt, so wird er die Zylinderoberfläche dauernd schneiden und darauf eine Kurve zeichnen. Anderseits wird, wenn fest bleibt und das Dreieck AXC gedreht wird, die Gerade mit einer zu der des Halbkreises entgegengesetzten Bewegung eine Kegelfläche beschreiben. Diese wird zufolge der Drehung die aus dem Zylinder gezeichnete Kurve in irgendeinem Punkt treffen. Zugleich wird auch der Punkt B einen Halbkreis auf der Kegelfläche beschreiben. Der bewegende Halbkreis möge im Augenblick des Zusammentreffens der Linien die Stellung CíKA haben und das entgegengesetzt drehende Dreieck die Lage CYA; der Punkt des Zusammentreffens sei K. Der von B beschriebene Halbkreis sei BMZ, und dessen Schnittlinie mit dem Kreis BCZA sei BZ. Aus K möge ein Lot auf die Ebene des Halbkreises CBA gefällt werden. Der Fußpunkt des Lotes wird auf dem Kreis liegen, weil der Zylinder gerade ist. Das Lot sei , und die Gerade schneide in D , und schneide den Halbkreis BMZ in M. Auch , und mögen gezogen werden. Da nun jede der beiden Halbkreise CíKA und BMZ auf der darunter liegende Ebene des Kreises senkrecht steht, so wird auch ihre Schnittlinie auf der Ebene des Kreises senkrecht stehen. Somit steht auch senkrecht auf . Also ist das Rechteck aus und , das ist das aus und , gleich dem Quadrat über . Daher ist das Dreieck AMI ähnlich zu MID und MAD, und der Winkel IMA ist ein rechter. Auch der Winkel CíKA ist ein rechter. Also sind und parallel und wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke gilt die Proportion:

 

mit und

 

In Abb. 9 soll noch einmal die Figur hervorgehoben werden, die Archytas vorschwebte und die er konstruieren wollte. Es handelt sich dabei um das rechtwinklige Dreieck ACíK mit den beiden Loten und .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Literatur:

  1. L. van der Waerden: Erwachende Wissenschaft, Band 8

Birhhäuser Verlag, Basel und Stuttgart 1966

  1. R. Knorr: Textual Studies in Ancient and Medieval Geometry

Birkhäuser Verlag, Boston, Basel, Berlin 1989

  1. Dudley: Mathematical Cranks

The Mathematical Association of America, 1992

  1. Gericke: Mathematik in Antike und Orient

Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo 1984