Der Satz des Pythagoras




Die Satzgruppe des Pythagoras

(Formulierung der Sätze)



1. Der Satz des Pythagoras

Bei jedem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse genauso groß wie die Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate.

a2+b2=c2

2.Der Kathetensatz

Bei jedem rechtwinkligen Dreieck besitzt ein Kathetenquadrat denselben Flächeninhalt wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem zur betreffenden Kathete gehörenden Hypotenusenabschnitt.

a2=c*p und b2=c*q

3.Der Höhensatz

Bei jedem rechtwinkligen Dreieck besitzt das Quadrat über der Höhe denselben Flächeninhalt wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten.

h2=p*q





Beweismöglichkeiten für den Satz des Pythagoras

Schon vor Pythagoras (ca. 580-500 v. Chr.) war der Satz des Pythagoras bekannt. In den altbabylonischen, ägyptischen, indischen und chinesischen Texten mathematischen Inhalts werden in der Regel konkrete Aufgaben gestellt, deren Lösungen in Form von rezeptartigen Rechenvorschriften mitgeliefert werden. Dabei wird die Lösung in vielen Fällen zwar mit konkreten Zahlen durchgeführt, ist aber so konzipiert, daß sie sich unmittelbar verallgemeinern läßt. Ebenso werden Begründungen - falls sie überhaupt gegeben werden - nur für den konkreten Fall formuliert, oder man beschränkt sich auf eine beigefügte Figur und den berühmten Hinweis: "Siehe!". In Griechenland war wohl Pythagoras von Samos einer der ersten, der ein Berechnungsverfahren für spezielle pythagoreische Zahlentripel angab, ob er den nach ihm benannten Lehrsatz für beliebige rechtwinklige Dreiecke gekannt hat ist allerdings nicht bekannt, da keine schriftlichen Aufzeichnungen darüber existieren. Der älteste bekannte schriftliche Beweis des Satzes aus Griechenland stammt von Euklid (um 365 v. Chr. geb.). Griechische Mathematiker vor Euklid dürften allerdings bereits einen Ähnlichkeitsbeweis für den Pythagorassatz gekannt haben.

Für den Lehrsatz des Pythagoras kennt man heute über 400 Beweise. Diese sind durch die Hilfsmittel gekennzeichnet sind, die zum Beweis herangezogen werden:

(1) Kriterien für die Flächeninhaltsgleichheit von Dreiecken (euklidische Methode)
(2) Geom. Abbildungen, welche den Flächeninhalt nicht verändern (abbildungsgeometrische Methode)
(3) Prinzip der Zerlegungsgleichheit
(4) Prinzip der Ergänzungsgleichheit
(5) Arithmetische Beweise (durch rein algebraische Operationen und Umformungen)
(6) Ähnlichkeitsbeziehungen
(7) Vektorielle Methoden
(8) Methoden der analytischen Geometrie
etc.


Beweis des Kathetensatzes und des Satzes von Pythagoras (euklidische Methode):

Zu zeigen ist die Flächeninhaltsgleichheit vom Quadrat ACEF über der Kathete [AC] mit dem Rechteck ADGH aus der Hypotenuse und dem Hypotenusenabschnitt [AD]. Dafür genügt der Nachweis, daß die Dreiecke ACF (=halbes Quadrat) und AHD (=halbes Rechteck) denselben Flächeninhalt besitzen. Wegen BC||AF haben die beiden Dreiecke AFC und AFB denselben Flächeninhalt. Wegen CD||AH sind auch die Dreiecke AHD und AHC flächeninhaltsgleich. Für die Dreiecke ABF und AHC gilt nun aber: |AB|=|AH|, |AF|=|AC|, <BAF=<HAC (<:Winkel). Nach dem Kongruenzsatz SWS sind daher die Dreiecke ABF und AHC kongruent und somit flächeninhaltsgleich. Hieraus folgt, daß dann auch die Dreiecke ACF und AHD denselben Flächeninhalt besitzen müssen. Damit ist der Kathetensatz gezeigt. Es gilt also |AC|2=|AB|*|AD| und |BC|2=|AB|*|BD|, d.h. b2=c*q und a2=c*p. Addition der beiden Gleichungen ergibt: a2+b2=c*p+c*q=c*(p+q)=c2, womit auch der Satz des Pythagoras bewiesen ist.


Es gilt auch die Umkehrung des Satzes von Pythagoras:
Ist Dreieck ABC ein Dreieck mit den Seiten a,b,c und gilt die Beziehung c2=a2+b2, so ist Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit [AB] als Hypotenuse.

Beweis:
Es sei A'B'C' dasjenige rechtwinklige Dreieck mit dem rechten Winkel bei C', für dessen Katheten [A'C'] und [B'C'] gilt: |A'C'|=b und |B'C'|=a. Da der Satz des Pythagoras auf Dreieck A'B'C' zutrifft, gilt für seine Hypotenuse: |A'B'|2=|A'C'|2+|B'C'|2, also |A'B'|2=a2+b2. Wegen der Voraussetzung c2=a2+b2 folgt hieraus |A'B'|2=c2, was nur für |A'B'|=c möglich ist. Damit stimmen die beiden Dreiecke ABC und A'B'C' in allen drei Seiten überein. Sie sind demnach kongruent, was zur Folge hat, daß auch Dreieck ABC rechtwinklig ist mit [AB] als Hypotenuse.

Ihre Kenntnis um die Beziehung 52=32+42 nutzten schon die Ägypter in der Pharaonenzeit, um mit Hilfe eines Knotenseiles rechte Winkel abzustecken. Ein ähnliches Verfahren war auch den Babyloniern bekannt, und die Maurer benutzen heute noch den pythagoreischen Zahlentripel (3,4,5) um rechte Winkel zu konstruieren.


Abbildungsgeometrischer Beweis des Satzes von Pythagoras:

Diesen Beweis habe ich mit Hilfe des Geometrieprogramms Euklid durchgeführt. Hier sind die dazu nötigen Dateien: Datei 1 Datei 2 weitere Datei

Ergänzungsbeweis des Satzes von Pythagoras (altindischer Beweis, Text aus dem 5.Jhdt. v. Chr., vermutlich aber schon länger bekannt):

Beweise den Satz von Pythagoras durch Verschieben der vier kongruenten, rechtwinkligen Dreiecke vom Ausgangsquadrat in das andere Quadrat.
Jedes dieser Dreiecke läßt sich durch ziehen an den beiden zu ihm gehörenden roten Punkte verschieben (und auch rotieren). Durch ziehen an dem roten Eckpunkt des Dreiecks kann das Dreieck verschoben werden, wobei zu beachten ist, daß die eine Seite des Dreiecks dabei immer auf der Verbindungslinie zum anderen roten Punkt, außerhalb des roten Dreiecks, liegen bleibt.
Hierzu benötigt man einen Java-fähigen Browser und ein Betriebssystem, daß lange Dateinamen unterstützt! (Sonst ist an dieser Stelle nichts zu sehen.)
Lösung (.avi-file)
Weiterer Ergänzungsbeweis in Form eines "Films" (.avi-file)

Arithmetischer Beweis des Satzes von Pythagoras (altchinesischer Beweis, Text aus der Han-Periode (206 v. Chr. - 220 n. Chr.), geht aber auf wesentlich ältere Überlieferungen zurück):

a) Sei h die Länge der vier Hypotenusen, und seien a und b die Längen der anderen beiden Seiten der vier rechtwinkligen Dreiecke ABG,DAF,CDJ und BCH. Da für die Flächen gilt: ABCD=FGHJ+ABG+BCH+CDJ+DAF, folgt: h2=(a-b)2+4*(a*b/2)=a2+b2.
Dieser Beweis findet sich schon in einem altchinesischen Kalenderwerk, allerdings nur für Dreiecke mit den Seiten (a,b,h)=(3,4,5). Er wird dort jedoch in Form eines "Kochrezeptes" geführt, das man leicht auch auf andere Zahlentripel anwenden kann.

b) Betrachte die vier kongruenten Dreiecke ABS,ADV,CDT und BCR mit den Seitenlängen a,b,h und das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge h. Es gilt: h2=(a+b)2-4*(a*b/2)=a2+b2.


Vektorieller Beweis des Satzes von Pythagoras als Spezialfall des Cosinussatzes:

Aus c=a-b folgt c2=(a-b)2=a2-2ab+b2, und damit der Cosinussatz: c2=a2+b2-2abcos<(a,b). Bei einem rechtwinkligen Dreieck verschwindet der Cosinus, und damit haben wir den Satz des Pythagoras.



Beispiel für eine altbabylonische Rechenaufgabe (Keilschrifttext, ca. 1700 v. Chr.):

Beachte: Die Babylonier benutzten kein Dezimalsystem, sonder ein Sexagesimalsystem. (Die 1 im Sexagesimalsystem entspricht hier der 60 im Dezimalsystem.) In den eckigen Klammern sind die Sexagesimalzahlen ins Dezimalsystem umgerechnet. Dabei sind die einzelnen Sexagesimalstellen durch Kommata voneinander getrennt, und die ganzen Zahlen von den Brüchen durch Strichpunkte.
"Ein Balken, [er ist] [0;]30 [GAR lang]
Von oben ist er [0;]6 herabgekommen.
Von unten was hat er sich entfernt?
[0;]30 quadriere, 15[=15*60=900] siehst du.
[0;]6 von [0;]30 abgezogen, [0;]24 siehst du.
[0;]24 quadriere, 9;36[=9*60+36=576] siehst du.
9;36[=576] von 15[=900] ziehe ab, 5;24[=5*60+24=324] siehst du.
5;24[=324] hat was als Quadratwurzel? [0;]18.
[0;]18 am Boden hat er sich entfernt."
Gerechnet wird also: a=Wurzel aus (b2-(b-h)2).



Karikatur
Pythagoras' Haven (abbildungsgeometrischer Beweis mit Hilfe eines Java-Programms)
The Pythagorean Theorem (Beweise)
The Pythagorean Theorem (Beweis und seine Geschichte)
Pythagoras' Theorem (Beweis mit Hilfe eines Java-Programms)
Pythagoras (zur Person)
Pythagoras (Beweis)
Pythagoras von Samos (zur Person)