MuPAD Programme

Hier werden einige kleine Programme präsentiert, die im Verlauf des MuPAD-Kurses im Sommersemester 1998 an der Universität Bayreuth entstanden sind.

Angenommen, Sie speichern eine der folgenden Dateien datei.mup auf Ihrer Festplatte C: im Verzeichnis C:\tmp\mupad ab, dann kann diese Datei in MuPAD mit dem Befehl read("C:/tmp/mupad/datei.mup"); eingelesen werden.

Im MathPAD-Journal Vol 6, No. 1, September 1996 behandelt F. Schwarz das von Archimedes gestellte Problem "Wieviele Rinder hat der Sonnengott?"
Dazu muß u.a. eine Pell'sche Gleichung gelöst werden und unter den unendlich vielen Lösungen dieser Gleichung eine Lösung (x,y) gefunden werden, bei der y durch 2*4657 teilbar ist.
In der MuPAD-Datei pell.mup sind zwei Prozeduren enthalten, die diese Probleme lösen:
1. pell(N) findet für eine natürliche Zahl N, die keine Quadratzahl ist, die zwei kleinsten natürlichen Zahlen (x,y), für die gilt: x² - N*y² = 1. Der Algorithmus ist aus D. Shanks, Solved and unsolved problems in number theory, p. 178.
2. Im gleichen Buch, p. 174, kann man nachlesen, wie aus einer minimalen Lösung alle anderen berechnet werden können. Die Prozedur it(x,y) findet bei Eingabe der minimalen Lösung (x,y) der Gleichung mit N = 4729494 eine Lösung (x',y'), bei der y' durch 2*4657 teilbar ist. it ist natürlich nur für die spezielle Pell'sche Gleichung, die bei dem Problem von Archimedes auftaucht, relevant.
In drei.mup wird die Prozedur drei(n) definiert. Diese Prozedur berechnet die 3n+1-Folge - auch Collatz-Folge genannt: Falls n gerade ist, wird n halbiert, ansonsten wird n zu 3n+1. Bis heute ist ungelöst, ob für alle natürlichen Zahlen n die Folge irgendwann die Zahl 1 erreicht.
Die Datei permute.mup enthält die Prozedur permute(li), die bei Eingabe der Liste li alle Permutationen der Listenelemente ausgibt. Diese Prozedur ist ein Beispiel für rekursiven Programmaufruf und ist dem MuPAD-Handbuch entnommen.
Die Datei mersenne.mup enthält die Prozedur mersenne(n), die für eine natürliche Zahl n angibt, ob 2ⁿ - 1 Primzahl ist oder nicht. Das zugrundeliegende Verfahren geht auf Lucas zurück.
Die Datei rsa.mup enthält Prozeduren, mit denen das RSA-Verfahren zur Datenverschlüsselung ausprobiert werden kann.
Der Benutzer muß vorher zwei Primzahlen p und q wählen. Diese beiden Primzahlen bestimmen den Modulus, d.h. man setze n := p*q;
Weiterhin muß ein öffentlicher Schlüssel e so gewählt werden, daß e teilerfremd zu (p-1)(q-1) ist.
In rsa.mup ist die Prozedur erzeuged(p,q,e) enthalten, die aus p, q, e den privaten Schlüssel d berechnet.
encrypt(m,e,n) verschlüsselt den String m, d.h. es wird eine Liste zurückgegeben, die die verschlüsselte Nachricht enthält.
decrypt(li,d,n) entschlüsselt diese Liste wieder, d.h. gibt einen String mit der Originalnachricht zurück.
Eine Beispielsitzung (momentan sind als Zeichen in der Nachricht nur Buchstaben, Ziffern, Leerzeichen, Kommata und Punkte erlaubt):
```
>> read("C:/tmp/mupad/rsa.mup"):

>> p := nextprime(246284623842);

                               246284623843

>> q := nextprime(42342942424242);

                              42342942424267

>> n := p*q;

                        10428415647366404609998081

>> e := 7;

                                     7

>> d := erzeuged(p,q,e);

                         5959094655613608790257127

>> m := "meine nachricht";

                             "meine nachricht"

>> ll := encrypt(m,e,n);

          [9496464320926164025878878, 4675300149404201068656256]

>> decrypt(ll,d,n);

                             "meine nachricht"
```

Zur MuPAD-Homepage Alfred.Wassermann@uni-bayreuth.de