Beginning of the document: Pythagoras und kein Ende

Dem ersten Beweis auf der Spur

Die Aussage dieses Lehrsatzes war lange vor der Zeit des Pythagoras bekannt. Daher verwundert es schon, dass der Lehrsatz dann ausgerechnet nach Pythagoras benannt wurde. Hier kommt einem das gängige Bonmot in den Sinn: Die Tatsache, dass ein Lehrsatz in der Mathematik nach einer bestimmten Person benannt ist, gibt ein sicheres Indiz dafür ab, dass diese Person nichts damit zu tun hatte. Diese Auslegung trifft hier wohl nicht zu, Pythagoras, oder genauer gesagt seine Schule, hat schon etwas mit diesem Lehrsatz zu tun.

Den Pythagoreern wird nämlich ein erster Beweis dieses Lehrsatzes zugeschrieben. Allerdings ist der Beweis nicht überliefert, so dass sich lediglich Spekulationen über seine Art anstellen lassen. In dem 1870 erschienenen Buch Die Geometrie und die Geometer vor Euklides Bret vermutet der Gymnasialprofessor Carl Anton BRETSCHNEIDER (1808 - 1878) aus Gotha, dass der Beweis durch ein vergleichendes Betrachten folgender Figuren geführt wurde:

Bretschneider nennt aber weder eine antike noch eine zeitgenössische Quelle. Es handelt sich hierbei um einen sog. Ergänzungsbeweis. Die beiden Quadrate mit den Seitenlängen a bzw. b sowie das Hypotenusenquadrat (Seitenlänge c) werden durch Hinzufügen von je vier kongruenten rechtwinkligen Dreiecken (mit den Katheten a,b und der Hypotenuse c) zu jeweils einem Quadrat mit der Seitenlänge a+b ergänzt. Dabei wird die den Pythagoreern bekannte Tatsache verwendet, dass die Innenwinkelsumme im Dreieck $180^\circ$beträgt. Somit ist gezeigt: Das Quadrat über der Hypotenuse ist flächengleich der Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten

Waschkies hat nun vor ein paar Jahren Indizien aufgespürt, die vermuten lassen, dass eine Begründung gemäß dieser Methode nicht erst von den Pythagoreern geleistet wurde, sondern bereits in vorgriechischer Zeit möglich war. Die Spuren führen zur altindischen bzw. arabischen Mathematik.

Vorschriften zur Herstellung von Altären wurden in Indien in den sog. Sulbasutras (d.h. Leitfäden zur Messkunst) schriftlich niedergelegt. Es finden sich hier auch rein geometrische Problemstellungen, wie z.B.:

Die Vereinigung von zwei Quadraten mit verschiedenen Ausmaßen zu einem größeren Quadrat zu bewerkstelligen.

Bei der Lösung dieser Aufgabe orientierten sich die Autoren der Sulbasutras eng an eine Variante der von Bretschneider angeführten Figuren.

Es ist zwar nicht bekannt, wann diese Leitfäden zur Messkunst erstmals aufgeschrieben wurden. Aus den bei der Beschreibung der Altarkonstruktionen verwendeten Begriffen kann man aber auf eine Datierung vor 450 v.Chr. schließen. Da weiterhin die geometrischen Kenntnisse der alten Inder und der Babylonier auf einen gemeinsamen Ursprung zurückgehen, haben wir einen ersten Anhaltspunkt dafür, dass den Babyloniern die Figuren Bretschneiders oder gewisse Varianten vertraut waren.

Ein weiteres Indiz liefert der muslimische Mathematiker TABIT IBN QURRA (826/27 - 906), der aus Mesopotamien stammte und in Bagdad wirkte. Er kannte einen Beweis des Lehrsatzes dem die Figuren des Ergänzungsbeweises zugrunde liegen. Da einige Historiker die begründete Ansicht vertreten, dass die mittelalterliche Mathematik der Araber oftmals direkt an die babylonische Tradition anknüpfte, haben wir wieder eine Spur!

Wie schon gesagt, direkte Belege für eine dieser Beweisvarianten in vorgriechischer Zeit haben wir keine. Aber ganz abwegig ist eine solche Spurensuche sicher nicht.

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