Beginning of the document: Pythagoras und kein Ende

Historischer Exkurs

Erste Überlegungen und Ergebnisse zu dem dreidimensionalen Satz des Pythagoras stammen von dem Ulmer Rechenmeister Johannes FAULHABER (1580 - 1635).

In seiner Schrift Miracula Arithmetica, die 1622 in Augsburg erschien, behandelt er `ein Newe Geometrische Inuention, welche auß der Zahl 666 Calculirt und Demonstrirt' wird. Für ihn stellt 666 eine heilige Zahl bzw. Wunderzahl dar, mit der er sich in anderen Schriften schon eingehend auseinandergesetzt hat. Hier lässt sich eine geistige Verwandtschaft zu den Pythagoreern herstellen, für deren Weltanschauung die Zahlenmystik ja grundlegend war. Für Faulhaber steckt noch viel ``Unerhörtes'' in der Zahl 666, wie er weiter schreibt (zitiert nach Wiel):

``Ich hab mir imaginirt ein Pyramidem oder Tetrahedron Irregulare, welcher an der obern spitzen gegen den drey flachen Figuren allenthalben einen rechten winckel oder 90 Grad hellt, dessen 3 auffrechte seitten jede innsonderheit 666 Puncten begreiffen.''

Er betrachtet also ein spezielles gleichschenkliges Tetraeder, dessen Kanten von der Basisfläche zur Spitze jeweils 666 Einheiten lang sind. Dann berechnet er ausführlich das Quadrat der Basisfläche mit dem Ergebnis 147 556 443 852 und anschließend ``den innhalt der 3 Flechen am auffrechten Kegel''. Das Quadrat beträgt jeweils 49 185 481 284. Erstaunt stellt er fest, dass das Dreifache dieser Zahl mit dem obigen Quadrat der Basis übereinstimmt.

Seine mystische Verklärung bezüglich der Zahl 666 hindert Faulhaber aber nicht daran, zu erkennen, dass sein Ergebnis allgemeiner und nicht von dieser Wunderzahl abhängig ist. Denn er schreibt weiter (zitiert nach Wiel):

``Nun hab ich bald im Multiplicieren gemercket, das dises ein General Kunst sein, und solches in allen dergleich Exempeln angehn müsse, auch die sach also in der That Just befunden, dann zu gleicher weiß, wie deß Pythagorae Invention von dem Winckelrechten Triangel Vniuersal, also auch dise in allen dergleichen Kegelflechen General ist.''

In seiner Ingenieur-Schul/Erster Theyl (Frankfurt/M. 1630) findet sich eine Aufgabe, in der aus dem gegebenen Quadrat der Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide die Länge der als gleichlang vorausgesetzten, aufeinander senkrecht stehenden Seitenkanten berechnet werden soll, und zwar ohne algebraische Hilfsmittel. Zur Lösung dieser Aufgabe gibt Faulhaber folgende Anweisung (zitiert nach Hawl):

``...In allen dergleichen Pyramidibus thut das quadrat der areae des Basis, eben so viel als die 3 gleiche quadrat des Inhalts der drey auffrechten Flechen sämptlich. Welche Invention Pythagoras zu seiner Zeit nicht gewust.''

Aus der Formulierung der Aufgabe und der Lösungsanweisung geht deutlich hervor, dass Faulhaber nicht an den allgemeinen Fall, sondern nur an das rechtwinklige Tetraeder mit gleichlangen Seiten zur Basis dachte. Einen Beweis seiner Feststellung oder einen Hinweis, wie er auf dieses Ergebnis gestoßen ist, sucht man allerdings in seinen Schriften vergeblich. Dies schließt natürlich nicht aus, dass er einen Beweis - zumindest für das gleichschenklig rechtwinklige Tetraeder - kannte. Auch ein Nachweis für das allgemeine rechtwinklige Tetraeder wäre ihm zuzutrauen. Denn er wusste, ``wie alle Triangel (sofern nur die drey Seiten bekandt) Punctlich außzurechnen seyen'', d.h. die Heronische Formel zur Berechnung von Dreiecksflächen stand ihm zur Verfügung.

Der dreidimensionale Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck mit beliebig langen Seitenkanten findet sich in den Cogitationes privatae von René DESCARTES (1596 - 1650):

``In tetraedro rectangulo, basis potentia aequalis est potentijs trium facierum simul.''
(In einem rechtwinkligen Tetraeder ist das Quadrat der Grundfläche den zusammengenommenen Quadraten der drei Seitenflächen gleich.)

Vor dem Beweis gibt Descartes zunächst zwei Zahlenbeispiele an, bei denen die drei Seiten der Grundfläche eines rechtwinkligen Tetraeders gegeben sind. Anschließend führt er einen allgemeinen Beweis. Die Seitenkanten des Tetraeders werden mit x,y,z bezeichnet, die Grundfläche besitzt die Seiten a,b,c. Dann gilt:

$$\begin{eqnarray*}x & = & \sqrt{\frac{1}{2} (a^2 + b^2 - c^2)}\\ y & = & \sqrt{\... ...2 + c^2 - a^2)}\\ z & = & \sqrt{\frac{1}{2} (a^2 + c^2 - b^2)}. \end{eqnarray*}$$

Damit erhalten wir für die Seitenflächen (rechtwinklige Dreiecke!):

$$\begin{array}{lclcl} A_1 & = & \displaystyle\frac{1}{2} xy & ... ...ystyle\frac{1}{4}\sqrt{a^4 - b^4 - c^4 + 2b^2 c^2}. \end{array}$$

Die Summe der Quadrate ergibt:

$$A_1^2 + A_2^2 + A_3^2 = \frac{1}{8} (a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2) - \frac{1}{16} (a^4 + b^4 + c^4).$$

Dies ist gleich dem mit Hilfe der Heronischen Formel berechnetem Quadrat der Grundfläche.

Descartes weist auch auf die Verallgemeinerung für vier Dimensionen hin:

``...er [= der pythagoreische Lehrsatz] läßt sich auch auf den Fall von vier Dimensionen erweitern; hierbei ist das Quadrat des dem rechten Winkel gegenüberliegenden Körpers gleich den zusammengenommenen Quadraten der vier anderen Körper.''

Ganz unabhängig von Faulhaber dürfte Descartes wohl nicht zu diesen Ergebnissen gelangt sein. Von 1618 bis 1623 hielt er sich in Schwaben auf und im Winter 1619/20 hatte er in Ulm (möglicherweise) Kontakt mit Faulhaber. Bei dieser Gelegenheit könnte er von dessen Newen Geometrischen Inuention erfahren haben und diese auf seine geniale Art verallgemeinert, sowie einen Beweis geführt haben. Denn unter dem oben genannten Titel Cogitationes privatae wurden undatierte Aufzeichnungen Descartes' veröffentlicht, die auf die Jahre 1619 - 1621 zurückgehen. Ob dieser wissenschaftliche Austausch zwischen Faulhaber und Descartes aber wirklich stattgefunden hat, lässt sich allerdings nicht sicher belegen. Vielleicht war Descartes sogar für kurze Zeit Faulhabers Schüler? Alle Zweifel über die persönliche Begegnung dieser beiden ignorierend, hält sich eine Anekdote, nach der Faulhaber so über die Genialität Descartes' erstaunt war, dass er ihn mit der Hand betastete, um sich zu überzeugen, dass Descartes wirklich ein Mensch und kein Engel sei.

Beginning of the document: Pythagoras und kein Ende