Beginning of the document: Pythagoras und kein Ende

James Abram Garfield

Einen algebraischen Beweis verdanken wir James Abram GARFIELD (1831 - 1881), dem 20. Präsidenten der Vereinigten Staaten. Geboren wurde er in einer Holzhütte, die in der Nähe von Cleveland im Staat Ohio stand. Neben der Schule musste er schon als Jugendlicher Geld verdienen, um seine verwitwete Mutter zu unterstützen. 1856 schloss er sein Studium am Williams College in Massachusetts ab und ging als Mathematiklehrer zurück nach Ohio an das Hiram College. Drei Jahre später wurde er Mitglied des Senats von Ohio.

Bei Ausbruch des nordamerikanischen Bürgerkriegs im Jahr 1861 meldete Garfield sich freiwillig für den Dienst in der Armee der Nordstaaten und stieg schnell auf bis zum General. Es drängte ihn aber in die Politik. Noch während des Krieges wurde er 1863 für die Republikaner in den Kongress gewählt. 1880 wurde er Senator von Ohio, nahm aber nie seinen Platz im Senat ein, da er für die Präsidentschaft nominiert wurde. Das Präsidentenamt trat er am 4. März 1881 an. Letztendlich meinte es das Schicksal aber doch nicht gut mit ihm. Am 2. Juli 1881 wurde er im Bahnhof von Washington niedergeschossen. Der Täter war ein gewisser Charles J. GUITEAU, der sich erfolglos um einen Posten im Präsidentenbüro beworben hatte. Der tödlich verwundete Präsident lebte noch den Sommer über, starb aber schließlich am 19. September 1881.

Im Jahr 1876, als Garfield Kongressabgeordneter war, entdeckte er einen interessanten Beweis des pythagoreischen Lehrsatzes, der im New England Journal of Education abgedruckt wurde.

Zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke werden so aneinandergesetzt, dass zwei unterschiedliche Katheten auf einer Geraden liegen (siehe Figur). Wir ergänzen diese Konfiguration zu einem Trapez. Die Idee des Beweises liegt darin, die Fläche des Trapezes auf zwei verschiedene Arten zu berechnen. Einmal mit Hilfe der Formel für den Flächeninhalt des Trapezes, das andere Mal als Summe der Flächeninhalte der drei rechtwinkligen Dreiecke, aus denen sich das Trapez zusammensetzt. Damit erhalten wir:

$$\left. \begin{array}{lclcl} A_{Tr} & = & \displaystyle\frac{a... ...rac{ab}{2} \end{array}\right\}\Longrightarrow c^2 = a^2 + b^2$$

$\Box$

Auf den ersten Blick ist man von Garfields Beweisidee vielleicht verblüfft. Wie kam er wohl auf die Idee, die beiden kongruenten rechtwinkligen Dreiecke auf die gezeigte Art aneinanderzusetzen und zu einem Trapez zu ergänzen?

Ein zweiter Blick und (oder) etwas Nachdenken lüften das Geheimnis. So außergewöhnlich wie zunächst angenommen ist dieser Einfall gar nicht. Wir kennen nämlich bereits die Garfield-Konfiguration, genauer gesagt, die Garfield-Konfiguration in einer erweiterten Form. Wir müssen uns nur an den Ergänzungsbeweis erinnern, der nach Bretschneider auf die Pythagoreer zurückgeht. Hier haben wir u.a. das Hypotenusenquadrat betrachtet, das durch vier kongruente rechtwinklige Dreiecke zu einem größeren Quadrat ergänzt wird.

Zeichnen wir in das Hypotenusenquadrat eine Diagonale ein und zerschneiden die Gesamtkonfiguration längs dieser Diagonale, so erhalten wir die Garfield-Konfiguration, und zwar gleich zweimal.

Vielleicht ließ sich Garfield auf die gezeigte Art von dem antiken Beweis inspirieren. Durch seinen andersartigen, konstruktiven Zugang hat er - bewusst oder unbewusst - die Quelle ``verschleiert''.

Die Garfield-Konfiguration eignet sich aber nicht nur für einen Beweis des Satzes von Pythagoras. Sie liefert auch, geringfügig modifiziert, eine Beweisvariante für das Additionstheorem der Sinus-Funktion.

Anstelle der beiden kongruenten rechtwinkligen Dreiecke betrachten wir zwei rechtwinklige Dreiecke mit der Hypotenusenlänge 1 und spitzen Winkeln $\delta$ und $\varepsilon$ bei A.

Die Fläche der drei Dreiecke ist gleich der Fläche des Trapezes BCDE, d.h.

$$A_{\Delta ABC} + A_{\Delta AEB} + A_{\Delta ADE} = A_{Tr}.$$

Wegen $\sin(\measuredangle EAB) = \sin (180^\circ - (\delta + \varepsilon)) = \sin (\delta + \varepsilon)$ erhalten wir:

$$\displaystyle\frac{1}{2}\sin\delta\cos\delta + \displaystyle\... ...\cos \delta + \cos\varepsilon) (\sin\delta + \sin\varepsilon).$$

Ausmultiplizieren und vereinfachen liefert das Additionstheorem

$$\sin (\delta+\varepsilon) = \sin\delta\cos\varepsilon + \cos\delta\sin\varepsilon.$$

Garfield war übrigens nicht der einzige amerikanische Präsident, der sich mit Mathematik beschäftigte. Von Abraham LINCOLN (1809 - 1865) weiß man, dass er sich als Jurastudent, um sein logisches Denkvermögen zu schulen, intensiv mit den Elementen des Euklid befasste. In einer autobiographischen Skizze erinnerte er sich später (zitiert nach Dunh):

I said, ``Lincoln, you can never make a lawyer if you do not understand what demonstrate means''; and I left my situation in Springfield, went home to my father's house, and stayed there till I could give any proposition in the six books of Euclid at sight. I then found out what `demonstrate' means, and went back to my law studies.

Zu dieser beachtlichen Leistung kann man Lincoln gratulieren, denn die Bücher I bis VI enthalten eine ansehnliche Anzahl von Propositionen, insgesamt sind es 173.

Garfield und Lincoln hatten dasselbe gewaltsame Ende, sie wurden beide erschossen. Mag dies der Grund sein, warum sich amerikanische Präsidenten nicht mehr mit Mathematik befassen?

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