Gittergeometrie und Bruchveranschaulichung

Die folgenden Ausführungen gehen auf eine Idee von E. Köhler zurück. Er betreibt in seinem Artikel "Drei auf einen Streich ..." (Mathematik in der Schule 36 (1998) 10, S. 521-530) eine "Geometrie der neun Nägel". Empfehlenswert ist es natürlich, mit Schülern zusammen solche Nagelbretter zu bauen. Die dabei auftretenden Dreiecke und Vierecke können z.B. mit gespannten Gummifäden realisiert werden.

Betrachte folgende Gitterflächen. Bei der Bruchrechnung soll davon ausgegangen werden, dass das gesamte (große) Quadrat die Einheit (also 1) darstellt. Gesucht sind jeweils Bruchteile dieser Einheit.

Auf der rechten Seite sind zwei Dreiecke und ein Viereck vorbereitet. Die Eckpunkte sind jeweils frei beweglich - somit können sie auf die Gitterpunkte des gegebenen Quadrats gezogen werden. Veranschauliche als erstes die Brüche 1/2, 1/3, 2/3, 1/6, 1/9 mit Hilfe von Dreiecken oder Vierecken. Begründe dein Vorgehen. Es sind oft verschiedene Lösungen möglich!
Welchem Bruchteil entspricht die Fläche von 2 Teilquadraten? Ist das mehr oder weniger als 1/4? Kann man 1/4 durch ein Dreieck darstellen?
Welche Bruchteile stellen folgende Flächen dar? Begründe geometrisch (z.B. durch Flächenverwandlung: Zerlegung/Ergänzung).
(a) , (b)
Finde eine Aufteilung des roten Quadrats in 3 Drittel bzw. 6 Sechstel mit Hilfe von Dreiecken und/oder Vierecken. Gibt es auch symmetrische Lösungen? Welche Art der Symmetrie liegt vor?
Verwendung anderer Gitterflächen:
Stelle analoge Fragen bei einem 4x4-Gitterquadrat und einem 5x3-Rechteck!
Hier kann man selbst weiterexperimentieren!