Universität Bayreuth                                            Wintersemester 1998/99
Lehrstuhl Didaktik Mathemaitk
Didaktisches Seminar
Leitung: Dr. W. Neidhardt

Verfasserin: Monika Hörl

Bruchrechnen in der Hauptschule

 

Inhalt:
I. Begründung der Behandlung von Bruchzahlen
II. Brüche im Lehrplan 
III. Konzepte zur Behandlung der Bruchrechnung nach Padberg
1. Äquivalenzklassenkonzept
2. Gleichungskonzept
3. Größenkonzept
4. Operatorkonzept
IV. Bruchrechnen
1. Addition und Subtraktion von Brüchen
2. Multiplikation von Brüchen
3. Division von Brüchen
4. Zusammenfassung
V. Freiarbeit
VI. Literaturangaben
 

I. Begründung der Behandlung von Bruchzahlen

Wie Padberg in seiner "Didaktik der Bruchrechnung" feststellt, wird in die Behandlung der Brüche sehr viel Unterrichtszeit investiert. Daher ist die Frage, ob dies gerechtfertigt sei, naheliegend. Im folgenden werden Argumente für die Notwendigkeit der Behandlung von gemeinen Brüchen aufgezeigt, nach dem Nutzen für das tägliche Leben und der innerschulmathematischen Notwendigkeit unterteilt.
Zur Lösung praktischer Probleme des täglichen Lebens ist die Behandlung der Bruchzahlen unerläßlich. Für genaue Messungen reichen vielfach die natürlichen Zahlen nicht aus, so daß Bruchzahlen benötigt werden. Sie sind wichtig bei der Bestimmung von Längen, Flächeninhalten, Volumina, Geldwerten, Zeitspannen, Gewichten und zur knappen Beschreibung von Bruchteilen von Größen (Bsp.: Der vierte Teil einer 5m langen Strecke).
Auch aus innermathematischen Gründen ist die Behandlung von Bruchzahlen notwendig. Es wird der Zahlbereich der Schüler erweitert und die Division ist uneingeschränkt möglich.
Für wichtige Gebiete des Mathematikunterrichts - Prozent-, Zins- und Verhältnisrechnung - werden die Bruchzahlen benötigt.
Kenntnisse aus der Bruchrechnung sind weiterhin notwendig für Äquivalenzumformungen von Gleichungen, Termumformungen und den Umgang mit der Formelsammlung.

II. Brüche im Lehrplan

Jahrgangsstufe 5

5.4. Brüche
"Die Schüler sollen gebräuchliche Brüche z.B. durch Falten, Legen, Zerlegen, Zeichnen darstellen und mit entsprechenden Größenbezeichnungen benennen. Auch beim Rechnen mit konkreten (benannten) Brüchen können sie sich auf handlungsbezogene und zeichnerische Erfahrungen stützen. Ausgehend von konkreten Zehnerbrüchen lernen sie die Dezimalbruchschreibweise verstehen.

Jahrgangsstufe 6

6.1 Bruchzahlen
"Die Schüler sollen durch konkretes Handeln, zeichnerisches Darstellen und unter Einbeziehung verschiedener Modelle zu einem vertieften Verständnis der Bruchzahlen gelangen. Ausgehend vom Umgang mit gleichnamigen Brüchen lernen sie das Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche. Indem sie geeignete Aufgaben mit Hilfe von Modellen lösen und Brüche als Operatoren auffassen, wird ihnen das Multiplizieren und Dividieren von Bruchzahlen verständlich. Wenige, hilfreiche Reglen können ihnen das Rechnen erleichtern. Die Schüler lösen einfache Aufgaben (geeignetes Zahlenmaterial) und achten dabei auf eine übersichtliche Schreibweise sowie vorteilhaftes Kürzen. 6.2. Dezimalbrüche
"Die Schüler sollen lernen, Dezimalbrüche als Stellenschreibweise von Bruchzahlen aufzufassen, zu ordenen und zu runden. Sie vergleichen dabei die Darstellung in Dezimalbrüchen und gewöhnlichen Brüchen.
Beim Addieren und Subtrahieren wenden sie bisheriges Können an und gewinnen zunehmend Sicherheit. Bei der Multiplikation und Division nehmen die Schüler die Kommasetzung begründet vor. Dabei sollen sie einfache Aufgaben auch mündlich oder halbschrftlich lösen können.


Jahrgangsstufe 7

7.1 Taschenrechner, Dezimalbrüche, Prozentrechnung
"Beim Rechnen mit Brüchen und Dezimalbrüchen erfassen die Schüler die Vorzüge der Schreibweise mit Dezimalstellen. Sie erkennen durch das Beschreiben und Vergleichen von Anteilen mittels Brüchen die Notwendigkeit eines normierten Vergleichsbruchs (Hundertstel). Anschauliche Darstellungen sowie vielfältige, alltagstypische Aufgaben helfen den Schülern, den Prozentbegriff zu verstehen."

Jahrgangsstufe 8

8.2 Rationale Zahlen
"Die Schüler lernen neben den bisher bekannten Zahlbereichen auch die nagativen rationalen Zahlen kennen. Ausgehend von realitätsnahen Situationen gewinnen sie durch Übertragen der Erfahrungen mit ganzen Zahelen sowie durch veranschaulichende Arbeit an der Zahlengeraden notwendige Einsichten. Sie sollen die Rechenregeln verstehen und anwenden. Bei der Behandlung von Prozent- und Promillerechnung und Gleichungen finden Brüche ebenso Anwendung.

Jahrgangsstufe 9

9.2 Rationale Zahlen, Potenzen und Wurzeln
"Die Beherrschung der Rechenregeln für Grundrechenarten im Bereich der rationalen Zahlen ermöglicht den Schülern einen sicheren Umgang mit Formeln und Gleichungen."

III. Konzepte zur Behandlung der Bruchrechnung nach Padberg

1. Das Äquvalenzklassenkonzept
In der Menge der geordneten Paare (a,b) natürlicher Zahlen definiert man eine Relation "~" durch
(a,b) ~ (b,c) <=> a*b = b*c
Diese Relation "~" ist reflexiv (a R a),
symmetrisch (a R a => b R a) und
transitiv (a R b und b R c => a R c), also eine Äquivalenzrelation.
In der Menge der geordneten Paare natürlicher Zahlen bewirkt sie daher eine Klasseneinteilung.
Die Äquivalenzklasse, in der beispielsweise (3,4) liegt, wird mit 3/4 bezeichnet.
Bei diesem Konzept ist also die Bruchzahl
3/4  die Äquivalenzklasse
3/4 = {(a,b) / a,b Element von N und 3*b = 4*a}
und allgemein die Bruchzahl m/n  die Äquivalenzklasse
m/n = {(a,b) / a,b Element von N und m*b = n*a}.
Schreibt man die Bruchzahl 3/4 in aufzählender Mengenschreibweise, so erhält man:
3/4 = {(3,4), (6,8), (9,12), (12,16),....}
Bruchzahlen wie 6/8 oder 12/16  sind Repräsentanten der Äquivalenzklasse 3/4.
Eine Addition und Multiplikation zwischen den Äquivalenzklassen (Bruchzahlen) erfolgt durch folgende Festsetzung:
(m,n) * (p,q)  = (m*n, n*q) bzw. (m,n) + (p,q) = (m*q + n*p, nq)
Damit dies eine sinnvolle Definition ist, muß zuerst noch nachgewiesen werden, daß die so definierte Addition und Multiplikation unabhängig ist von den gewählten Repräsentanten. Der Beweis wird an dieser Stelle weggelassen.
Dieser Weg der Einführung wird in der Hochschulmathematik verwendet, da er den Vorteil bietet, daß man nur auf die ganzen Zahlen und ihre Rechengesetze zurückgreifen muß.
Nachteile dieses Wegs sind einerseits, daß eine anschauliche Vorstellung von den Bruchzahlen und von den Verknüpfungen den Schülern kaum zu vermitteln sind. Andererseits erfolgen die Definition der Bruchzahlen wie auch die Rechenoperationen für die Schüler völlig unmotiviert und rein formal. Die Einführung der Addition und Multiplikation erfolgt anwendungsfern.
"Obwohl dieser Ansatz mathematisch einwandfrei, hat er sich in der Schulpraxis nicht durchgesetzt." (Bigalke in Padberg, S. 29).
 

2. Das Gleichungskonzept
Die Bruchzahl m/n wird als Lösung der Divisionsaufgabe m : n eingeführt.
Unter der Bruchzahl m/n  versteht man die Lösung der linearen Gleichung n * x = m.
Das Erweitern und Kürzen kann man mit diesem Schema gut einführen. 3/4, 6/8, 15/20 benennen dieselbe Bruchzahl, da man die zugehörigen Gleichungen 8x = 6 und 20x = 15 aus der Gleichung 4x = 3 durch Multiplikation beider Seiten mit 2 bzw. 5 erhält.
Die Addition zweier Zahlen x und y führt Freudenthal, ein Befürworter dieses Ansatzes folgendermaßen ein: Die Zahl 7/3 wird mit x und die Zahl 3/5 wird mit y benannt.
7/3 + 3/5 = ?
I: 3x = 7,
II: 5y = 3
Finden der Gleichung x + y
Erweitern der Gleicung I mit dem Faktor 5 und der Gleichung II mit dem Faktor 3:
I: 15x = 35
II: 15y = 9
=> 15(x + y) = 44
=> x + y = 44/15
==> 7/3 + 3/5 = 44/15

Die Multiplikation zweier Zahlen wird ähnlich eingeführt:

Definitionsgleichungen: 3x = 7 und 5y = 3
=> 15xy = 21
=> xy = 21/15
==>

Auch dieses Konzept besitzt einige Nachteile, weshalb es in der Hauptschule zur Einführung der Bruchrechenoperationen nicht verwendet wird: Bei diesem Weg sind Kenntnisse aus der Gleichungslehre erforderlich, über die die Schüler in der 5. und 6. Jahrgangsstufe noch nicht verfügen. Außerdem ist dieser Weg wiederum sehr formal, was auch Vertreter dieses Konzepts einräumen. Die Einführung der Division bereitet bei diesem Ansatz Schwierigkeiten, und eine Anwendung der Bruchzahlen als Maßzahlen von Größen ist bei diesem Ansatz nur schwer erklärbar.
 

3. Das Größenkonzept
Bei diesem Konzept geht man von konkreten Brüchen wie 1/8kg, 1/2 Stunde oder 3/4 km aus, die den Schülern aus dem täglichen Leben vertraut sind. Durch Abstraktion gelangt man dann zu einer festen Bezugsgröße, genannt "das Ganze" oder die "Einheit E" schlechthin. Die Bruchzahl m/n ist also hierbei eine Größe, nämlich die Größe m/n E.
Dieses Konzept bietet den Vorteil der Nähe zu vielen Anwendungen der Bruchzahlen im Alltag und damit gute Rückgriffsmöglichkeiten auf Vorkenntnisse der Schüler. Gut einführen lassen sich mit diesem Konzept das Erweitern und Kürzen, das Addieren und Subtrahieren sowie Sonderfälle der Multiplikation und Division. Allerdings können die Multiplikation und Division kaum mehr generell nach diesem Konzept einführen. Es werden also auch hier Grenzen des Konzepts sichtbar.
 

4. Das Operatorkonzept

Bei der reinsten Form des Operatorkonzepts werden Bruchzahlen und Bruchoperatoren identifiziert. Bei einer zweiten Variante kann man auch die bruchoperatoren als ein Modell für die Bruchzahlen auffassen und die Bruchzahlen hieraus durch Abstraktion gewinnen. Man kann die Bruchoperatoren auch nicht mehr isoliert sondern im Zusammenhang mit den Größen, auf die sie wirken sehen (Variante 3).
Der Ansatz des Operatorkonzepts, Bruchzahlen als Operatoren aufzufassen, scheint dabei auf den ersten Blick recht abwegig zu sein. Jedoch finden sich im Alltag übliche Sprechweisen wie "2/3 von 6kg sind 4kg". Dies kann man auch so deuten, daß durch "2/3 von" der Größe 6kg die Größe 4kg zugeordnet wird. In diesem Sinne kan man die Bruchzahl 2/3 als Funktion oder wie in der Schule üblich als Operator auffassen, der den Größen g die Größe 2/3 von g zuordnet.
Für den Einsatz im Unterricht ist es wichtig die Funktionen zu konkretisieren, etwa mit Hilfe von Maschinen. So kann sich der Schüler eine Maschine mit der Eingabe x und der Ausgabe 3/4 x leichter vorstellen als eine Funktion x -> 3/4 x. Das die Maschine nur als ein schwarzer Kasten gesehen wird (black box) spielt nach Griesel (vgl. Padberg, S. 32) keine entscheidende Rolle.
Das Operatorkonzept im Sinne von Variante 2 beginnt mit Multiplikations- und Divisionsoperatoren. Mathematisch gesehen ist ein Multiplikationsoperator (*n) jeweils eine Abbildung eines Größenbereiches in sich, bei der jeder Größe a aus G die Größe a*n aus G zugeordnet wird, also:
G --> G mit a --> a*n
Divisionsoperator (:n): G --> G mit a --> a : n
Die Konkretisierung der Multiplikationsoperatoren erfolgt im Unterricht durch Maschinen, die z.B. jeden eingegebenen Stab auf die n-fache Länge kontinuierlich strecken oder für jeden Stab aus ihrem Vorrat n gleichlange Stäbe zu einem neuen Stab n-facher Länge zusammensetzen. Die Konkretisierung des Divisionsoperators erfolgt durch die Vorstellung, daß die Maschinde den eingegebenen Stab in n gleichlange Stäbe zerlegt und davon einen Teilstab ausgibt.
Durch Hintereinanderschalten von Maschinen läßt sich eine Verkettung von Multiplikationsoperatoren und auch eine Verkettung von Divisionsoperatoren einführen. Das Ergebnis ist wiederum ein Multiplikations- bzw Divisionsoperator.
Für die Verkettung von Multiplikations-  und Divisionsoperatoren gilt:
(*m)  °  ( : n) = ( : n) ° (*n)
Der Bruchoperator (* m/n) kann jetzt definiert werden durch (* m/n) = (*m) ° ( : n).
Wendet man einen Bruchoperator auf eine Größe g an, so gilt:
(* m/n) (g) = (g : n) *m und auch (* m/n) (g) = (g * m) : n
Im Anschluß an die Behandlung der Bruchoperatoren erfolgt die Behandlung von Gegenoperatoren, dh, von Operatoren, die die Wirkung der ursprünglichen Operatoren aufheben. So findet man zum Bruchoperator (* m/n) den Gegenoperator (* n/m).
 

Auch das Operatormodell weist einige Nachteile auf:
Als Problem kann sich bei diesem Konzept erweisen, daß die Mutliplikation und Division von Brüchen vor der Addition und Subtraktion eingeführt werden. Bei der Abfolge Multiplikation und dann Addition, wie es bei Variante 2 üblich ist, gibt es einige Nachteile, die später noch eingehender erläutert werden. Zu Beginn des Bruchrechenlehrgangs erfolgt bei dem Operatormodell keine Anknüpfung an die Vorerfahrung der Schüler mit Brüchen.
Die Behandlung des Erweiterns und des Kürzens durch das Einschieben bzw. Herausnehmen wirkungsloser Operatorpaare wird den Schülern keine anschauliche Vorstellung vermittelt,  warum zwei gegebene Brüche gleichwertig sind.
Beim Operatorkonzept ist die Gefahr groß, daß man für die Bruchrechnung mehr Zeit investiert als sonst üblich. Nach Lörcher übt und erklärt man in der 6. Jahrgangsstufe durchschnittlich 8 Stunden lang Operatoren um danach fast genau so viel Zeit für die Bruchrechnugn zu benötigen wie Klassen, die sie ohne Operatoren kennenlernen.
Ein erhöhter Zeitaufwand ist dann gerechtfertigt, wenn hieraus größere Erfolge in der Behandlung der Bruchrechnung resultieren. Doch dies ist nach einer umfangreichen Untersuchung Padbergs nicht der Fall.
 

IV. Bruchrechnen

Nach Aebli (1988) entwickelt sich das beziehungsvolle Verständnis für eine Rechenoperation in vier Stufen:

1. Addition und Subtraktion

1.1 Einführung
1.1.1 Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche
Die Einführung der Addition und Subtraktion gleichnamiger Brücher erfolgt bereits in der 5. Jahrgangsstufe. Bevor mit Bruchzahlen gearbeitet wird, beschäftigen sich die Schüler mit konkretem Dazulegen und Wegnehmen von Bruchteilen, d.h. statt mit der Addition von Bruchzahlen beschäftigt man sich erst mit der Addition von Größen. Es wird zum Beispiel am Kreis (Pizza/Torte), am Rechteck (Schokolade), am Zahlenstrahl oder mit Flüssigkeiten gearbeitet.
             Die Lösung erfolgt durch Arbeiten mit Pappkreisen: 5/8 Torte + 2/8 Torte = 7/8 Torte
     
Der Schritt von der Göße zur Bruchzahl ist in diesem Fall - Größenkonzept - unproblematisch, da nur die Größeneinheiten weggelassen werden müssen.

Mit den Schülern können nun folgende Rechenregeln formuliert werden:
 
Addition von gleichnamigen Brüchen: 
Bruchteile mit gleichem Nenner werden addiert, indem man die Zähler addiert. 
Beispiel: 1/5 + 3/5 = 4/5
 
Subtraktion von gleichnamigen Brüchen: 
Bruchteile mit gleichem Nenner werden subtrahiert, indem man die Zähler subtrahiert. 
Beispiel: 4/5 - 3/5 = 1/5
 
 

1.1.2. Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche
Das konkrete Dazulegen und Wegnehmen ungleichnamiger Brüche innerhalb der Bruchfamilie (Kreis...) führt zur Notwendigkeit, den gleichnamigen Nenner zu suchen.
 

Beispiel
Uli und sein Freund Peter essen zusammen eine rechteckige Pizza. Uli ißt 1/4 Pizza, Peter 3/8 Pizza. Wieviel Pizza haben sie zusammen gegessen?

  1/4 + 3/8                    =    2/8 + 3/8 = 5/8
Zusammen haben sie 5/8 Pizza gegessen.
 

Der Aufgabentyp kann auch mit Mengendarstllung eingeführt werden:

 

Durch weitere ähnliche Aufgaben zur Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche gelangen die Schüler zu folgender Regel:
 
Addition ungleichnamiger Brüche: 
Um ungleichnamige Brüche zu addieren, müssen sie erst durch Erweitern gleichnamig gemacht werden. 
Beispiel: 
 
Subtraktion ungleichnamiger Brüche: 
Um ungleichnamige Brüche zu subtrahieren, müssen sie erst durch Erweitern gleichnamig gemacht werden. 
Beispiel: 
 
 

Es eigenen sich auch folgende Merksätze, vor allem in Bezug auf das Bilden des Hauptnenners:

Addition:
3/4 + 5/6 
Gleichnamigmachen		 Vielfache von 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36... 

Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36 ...
=> Hauptnenner 12 3/4 + 5/6 = 9/12 + 10/12 = 19/12 = 1 7/12
Subtraktion:
9/10 - 3/4 
Gleichnamigmachen		 Vielfache von 10: 10, 20, 30... 

Vielfache von 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32...
=> Hauptnenner 20  9/10 - 3/4 = 18/20 - 15/20 =3/20
 
 

1.1.3. Addition und Subtraktion gemischter Zahlen
Um eine spätere Unsicherheit bei solchen Aufgabentypen zu vermeiden , ist es notwendig, es an dieser Stelle zu behandeln.
Beispiel: 5 1/4 bedeutet: 5 + 1/4 = 5/1 +1/4 = 20/4 +1/4 = 21/4
Aufagbe: 5 1/4 + 2/5 = 5 5/20 + 8/20 = 5 13/20
Durch die Einführung der gemischten Zahlen verhindert man das Rechnen mit großen Zahlen:
Beispiel: 5 1/4 + 2/5 = 21/4 + 2/5 = 105/20 + 8/20 = 113/ 20
 

1.1.4 Weitere Aufagenbeispiele
 

1.2. Typische Schülerfehler und mögliche Ursachen nach Padberg Mögliche Ursachen: Mögliche Ursachen, des auf der semantischen Ebene sehr einfachen Aufgabentyps:
  • Unterschätzung des Aufgabentyps durch Lehrer führt zur Vernachlässigung im Unterricht
  • Fehlerhafte Übertragung der Multiplikation auf die Addition:

  • nicht genügende anschauliche Behandlung und Einbettung der natürlichen Zahlen in die Menge der Bruchzahlen.
    •      1.3. Mögliche Gegenmaßnahmen
    Mögliche Gegenmaßnamen werden in Bezug auf die Addition dargestellt. Die getroffenen Aussagen gelten ebenso für die Subtraktion.

    2. Multiplikation

    2.1. Einführung

    2.1.1 Multiplikation einer Bruchzahl mit einer natürlichen Zahl
    Die Multiplikation eines Bruches mit einer ganzen Zahl wird auf die Addition zurückgeführt.

                   1/4                                        1/2                                        3/4         a) 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 5 * 1/4 = 5/4 = 1 1/4
      Die Schüler gelangen induktiv zu folgender Regel:
    Man multipliziert eine Bruch mit einer natürlichen Zahl, indem man den Zähler mit der Zahl multipliziert. Der Nenner bleibt gleich. 
    Beispiel: 5 * 2/3 = 10/3 = 3 1/3
     
     

    2.1.2 Multiplikation eines Bruches mit einem Bruch
    Geeignet sind hier die sogenannten "von Aufgaben" (Beispiel: 2/3 von 3/4). Es muß allerdings die Bedeutung des Wortes von geklärt werden: von = mal
     

     

    Die Schüler gelangen so zu folgender Regel:
    Multiplikation zweier Brüche: 
    Zwei Brüche werden multipliziert, indem man jeweils die Zäler miteinander multipliziert und die Nenner miteinander: 
    Zähler mal Zähler / Nenner mal Nenner 
    Beispiel: 
    Für das Rechnen auf der symbolischen Ebene sind in den Schulbüchern meist genügend Aufgaben vorhanden.
    Bei den Ergebnis ist - genauso wie bei den anderen Rechenoperationen - darauf zu achten daß es immer auf die einfachste Form gebracht wird durch Kürzen und Umwandeln in eine gemischte Zahl. Weiterhin sollte auf das Kürzen vor dem Ausmultiplizieren geachtet werden, um das Rechnen mit zu großen Zahlen zu vermeiden.
    Beispiel:

     

    2.1.3 Multiplikation eines Bruches mit einer gemischten Zahl
    Gemischte Zahlen werden in unechte Brüche verwandelt. Dann wird das oben genannte Verfahren angewendet:
    Zähler mal Zähler / Nenner mal Nenner
    => Kürzen, wenn möglich
    =>Zähler und Nenner ausmultiplizieren
    => Ergebnis vereinfachen
    Beispiel:

     

    2.1.4 Andere Einführungsmöglichkeit: Flächen
    Für den Flächeninhalt eines Rechtcks mit den Sitenlängen a m und b m (a,b, aus N) gilt:
    F = (a*b) m^2
    Soll diese Formel auch für Rechtecke mit Bruchzahlen als Maßzahlen Gültigkeit behalten, so hat dies Konsequenzen für die Produktdefinition bei Bruchzahlen:
    Beispiel: 2/3 * 4/5
    Bei der Bestimmung des Flächeninhalts aufgrund der Zeichnung ergibt sich:

    Lösung: F = 8/15 m^2  =  2*4 / 3*5  m^2
     

    2.2. Typische Schülerfehler und mögliche Ursachen

    Mögliche Ursachen: Mögliche Ursache:
    Die drei Aufgabentypen lassen das psychologische Konmzept "Verknüpfe Gleichartiges" erkennen.
          2.3. Mögliche Gegenmaßnahmen
    Bewußtes Kontrastieren von Aufgabentypen zur Addition und Multiplikation gleichnamiger Brüche um so M1 zu verhindern bzw. abzubauen. Gegenüberstellen von Multiplikation und Divisionsaufageben, da die beiden Regeln auch öfters miteinander verwechselt werden. Gründliche und anschauliche Einbettung der natürlichen Zahlen in die Bruchzahlen mit folgender Regel: n = n/1 Exakte Klärung des Begriffs "von", von = mal, falls er verwendet wird.

    3.Division

    3.1. Einführung

    3.1.1 Division eines Bruches durch eine natürliche Zahl

    Jedes Sechstel wird in 2 gleich große Teile geteilt => es entstehen Zwölftel
    5/6 : 2 = 10/12 : 2 = 5/12

    Auch durch ähnliche Beipsiele kann gezeigt werden, daß man auf kürzerem Weg, d.h. ohne Zeichnung zum Ergebnis kommen kann.
    oder eventuell:

    Es läßt sich folgende Regel verfassen:
    Einen Bruch dividiert man durch eine natürliche Zahl, indem man den Nenner mit der natürlichen Zahl multipliziert. Der Zähler bleibt. 
    Beispiel: 
     

    3.1.2 Division einer gemischten Zahl durch einen Bruch
    Die gemischte Zahl wird in einen unechten Bruch umgewandelt. Das weitere Vorgehen erfolgt wie oben in Punkt 3.1.1.

    3.1.3 Division eines Bruches/einer natürlichen Zahl durch einen Bruch

     
    Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. 
    Beispiel: 2/3 : 4/5 = 2/3 * 5/4 = 10/12 = 5/6
     
         
    3/2  : 500  = 3/1000
    3/2 : 100 = 3/200
    3/2 : 20 = 3/40
    3/2 : 4 = 3/8
    3/2 : 4/5  = ?
    => Der Dividend bleibt unverändert (3). Der Divisor wird jeweils gefünftelt, d.h. das Ergebnis wird verfünffacht. Gilt das Permannenzprinzip der natürlichen Zahlen auch für die Bruchzahlen, muß festgesetzt werden: 3/2 : 4/5 = 3/8 * 1/5 = 3/8 *5
    es gilt also: 3/2 * 4/5 = 3/8 * 5 = 3 / 2*4 = 3*5 / 2*4 = 3/2 * 5/4 = 15/8
    So ergibt sich zwangsläufig die oben genannte Rechenregel
     

    3.1.4 Division einer natürliche Zahl durch eine natürliche Zahl
    Im Bereich der natürlichen Zaheln ist die Division nur in wenigen Spezialfällen durchführbar, nämlich nur dann, wenn der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist.
    Division durch natürliche Zahlen ist in der Menge der Bruchzahlen stets durchführbar. Durch Einbettung natürlicher Zahlen in die Menge der Bruchzahlen ist die Division uneingeschränkt durchführbar, denn: n = n/1

    Dem Schüler darf nicht der Eindruck vermittelt werden, daß die Division zweier natürlicher Zahlen (2:3) plötzlich auch in der Menge der natürliche Zahlen erlaubt ist. Hieraus ergibt sich wahrscheinlich auch die große Unsicherheit gegenüber diesem Aufgabentyp.
     

    3.2. Typische Schülerfehler und mögliche Ursachen

    3.3. Mögliche Gegenmaßnahmen

    4. Zusammenfassung

    V. Freiarbeit

    Im folgenden werden einige Spiele bzw. Aufgaben vorgestellt, die sich zur Freiarbeit eignen.
    Bei den einzelnen Spielen sind auch verschiedene Variationen möglich. Die Spiele können bei anderen Themenbereichen Anwendung finden, wenn sie verändert werden ( z. Bsp. die Aktionskarten beim Spiel Pferderennen).

    Brain Strain:
    Ein Spiel zum Vergleichen von Brüchen

      Pferderennen
     Wegespiel für 2 - 4 Spieler

    Brüche würfeln
    Übung für zwei Spieler

    Irrgarten

     

    Lotto
    Übung zur Addition und Subtraktion
     

    Beim Lotto suchen Schüler und Schülerinnen zusammengehörige Kartenpaare (Rechenaufgabe und Bild der Rechenaufgabe). Zur Kontrolle sollten auf der Rückseite zusammengehörige Kartenpaare mit dem gleichen Symbol gekennzeichnet werden.
    Die Schüler ordnen jeweils der Aufgabenkarte die entsprechende Bildkarte zu.

    Beispiele für Aufabenkarten:

    Quelle: Wiese Ilse, Bruchrechnen: Freies Arbeiten - gezieltes Üben, in: mathematik lehren, S. 18 ff


     

    VI. Literaturangaben: