Einführung von Gleichungen

Einführung von Gleichungen

In der Grundschule werden Gleichungen mit Platzhalter eingeführt.

z.B.: 3 + _ = 5 Es wird viel mit der Sprache gearbeitet.

In der 5. Klasse werden die nat. Zahlen ähnlich behandelt, aber man geht bereits argumentativ, d.h. über die Gegenaufgabe vor.

z.B.: 5 + x = 7 7 – 5 = x

5 x = 15 15 5 = x

In der 6. Klasse werden die Brüche auch argumentativ gelöst.
In der 7. Klasse kommen auch die neg. Zahlen dazu.

Ab der 5.Klasse treten Gleichungen in 3 Arten auf:

Bei Rechengesetzen
Bei der Formulierung von Aufgaben
In Formeln

Rechengesetze:

Formulierung von Rechenaufgaben

addiere, vermehre +

subtrahiere, vermindere -

multipliziere, vervielfache

dividiere, teile

ist genauso viel wie, ebenso wie =

Formeln:

A=35

A=ab

Als Lösungsverfahren bieten gedankliches Lösen, Lösen mit Gegenaufgabe, Termvergleich und Probieren an.

Gedankliches Lösen: 3*x = 12

"Mit welcher Zahl muss ich 3 multiplizieren, um 12 zu erhalten? Mit 4"

Gegenaufgabe: 3 * x = 12 => 12 / 3 = 4

Termvergleich: 3 * x + 2 = 14

3 * x + 2 = 12 + 2

also: 3 * x = 12

3 * x = 3 * 4

x = 4

Probieren:

x	X * 3 + 2	X * 3 + 2 = 15
1	5	5 = 14	falsch
2	8	8 = 14	falsch
3	11	11 = 14	falsch
4	14	14 = 14	wahr

Probieren bietet sich bei Ungleichungen an.

Z.B.: In einem Fahrstuhl dürfen höchstens 5 Personen mitfahren.

Ab der 6. Klasse wird mit Bruchzahlen gerechnet

Bruchregeln werden mit Gleichungen formuliert:

Irritation, weil Brüche aus nat. Zahlen bestehen

Brüche sind aus nat. Zahlen gebildet

Formulierung von Rechenaufgaben

2 Möglichkeiten

Formeln:

Dezimalzahlen Quader A = a * b

z.B.: 1,5 * 2,5 = 3,75

6. Klasse: Rauminhalt eines Quaders: V = a * b * c

Tip: Bei Gleichungen nur mit Maßzahlen arbeiten, da Maßeinheiten stören

Rechenregeln für Q

(+a)+(+b)=+(a+b)

(-a)+(-b) = -(a+b)

+(a-b), falls a>b

(+a)+(-b) = 0 falls a=b

-(b-a), falls a<b

+(b-a), falls a<b

(-a)+(+b)= 0 falls a=b

-(a-b), falls a>b

(+a)(+b)= +(ab)

(-a) (-b)= +(ab)

(-a)(+b)= -(ab)

(+a)(-b)= -(ab)

Nach der Erarbeitung der rationalen Zahlen, werden zunächst Term und Termumformungen behandelt.

Nur ein Minimum an Begriffen einführen

Gleichung:	Ist klar
Ungleichung:	Ist klar
Lösungsmenge:	Menge aller Lösungen einer Gleichung od. Ungleichung
Äquivalenzumformung:	Umformung einer Gleichung od. Ungleichung, bei der sich die Lösungsmenge nicht ändert

Ziele:

Sichere Beherrschung der Umformungsregeln.
Sicherheit bei der Erfassung von Gleichungs- bzw. Ungleichungstypen (Situationsanalyse).
Sichere Beherrschung der Lösungsstrategien.
Zielsicherheit bei Umformungen (Zielanalyse)
Beherrschung der Umkehrumformungen.
Schnelligkeit bei der Lösung von Gleichungen.

II Einführung von Gleichungen

Kaufpreis Fahrrad

z.B.: Du hast 150 DM gespart, ein Fahrrad kostet 200 DM, wieviel musst Du noch sparen?

200 – 150 = 50

Jeder Schüler kann sofort die richtige Antwort 50 DM sagen.

Waagemodel 3,5kg x 5kg 1. Möglichkeit

3,5 + x = 5

x + x + 3 9 2. Möglichkeit

3 Wegnehmen

x + x 6 halbieren

x = 3

Bauklötzchen

Zahlenstrahl

Vorstellung verschiedener Aufgabentypen zum Lösen von Gleichungen

Wichtig: Abwechslung, Textaufgaben, spielerische Aufgaben

Aufgaben, wo senkrecht und waagrecht das gleich Ergebnis herauskommt.

Setzte < = > ein

15 + 5 _ 30 – 8

9 _ 3 * 5

37 – (1 + 16) _ 20

Löse die Umkehraufgabe

x + 19 = 81 2 * x = 180

x – 37 = 13 x / 2 = 44

Lernen der Begriffe

Welche Zahl muß man zu 15 addieren, um 21 zu erhalten?
Welche Zahl muß man durch 5 dividieren, um 9 zu erhalten?
Welche Zahl muß man von 22 subtrahieren um 18 zu erhalten?
Mit welcher Zahl muß man 3 multiplizieren, um 33 zu erhalten?

Merkwürdige Aufgaben zur Sicherheit

x + 0 = 4873 x * 693 = 693

x * y = 36 a – b = c

x – 0 = 975 803 / x = 1

Zeichne am Zahlenstrahl

6 + 3 = x 143 DM + x = 215 DM

920 kg – x = 160 kg

Lösungsmenge zu Ungleichungen

7 + x < 11

Am Zahlenstrahl

X / 37 < 5

Textaufgaben

Gleichung

Aufgabe und Umkehraufgabe

3 * x + 5 = 26 x ^*3_ ⁺⁵ 26

Rechenregeln ( Klammerregeln)

17 + (288 / 9) = _

(6 + 4) / 2 = _

Setzte die klammern so, dass das Ergebnis richtig ist

2 * 15 – 4 = 22

46 + 34 / 8 = 10

Musterbeispiel

2(x-8) + 4x	=	223 + 4		1. Umformung
2x – 16 + 4x	=	46 + 4		Ordnen + Zusammenfassen
6x - 16	=	50	/ + 16	Wertgleiches Umformen
6x	=	66	/ : 6	Ausrechnen
x	=	11		Ergebnis aufschreiben

2(11-8) + 411	=	223 + 4		Probe !!

Beachte: - Jeder Rechenschritt in neue Zeile

" = " untereinander schreiben
in jede Zeile nur ein " = "

Häufige Fehlermuster bei Gleichungen

Falsches abschreiben

Oberflächliche Arbeitsweise, Leichtsinnsfehler

Verwechseln der Vorzeichen

Mißachtung der Reihenfolge

Punkt vor Strich

3 + 7 * 2 = 20 falsch !!!

3 + 7 * 2 = 17

Falsches Zusammenfassen von gleichartigen Gliedern

2x + 3x + 5 = ( 10x ) falsch !!!

2x + 3x + 5 = ( 5x + 5 )

Falsches Zusammenfassen von mehreren negativen Gliedern

5 – 2 – 20 = 23 falsch !!!

5 – 2 – 20 = - 17

Es empfiehlt sich bei neg. Zahlen ein Beispiel mit Schulden zu wählen, da das für Schüler anschaulicher ist.

Fehler bei Klammerauflösung

10 – ( 5 + 2) = 7 falsch !!!

10 – ( 5 + 2) = 3

Probleme mit Variablen

10 – (x + 2) = 3

10 – x = 3

Es wird nur ein Glied der Klammer multipliziert

2 (x + 5) = _

2x + 5 = _ falsch !!!

2x + 10 = _

Operationen werden nicht auf beiden Seiten durchgeführt

6x + 2 = 20

6x = 20 falsch !!!

Probleme mit Variablen auf beiden Seiten

Probleme bei Aufgaben mit neg. Variablen

Probleme bei Aufgaben mit neg. Variablen und neg. Zahl im Ergebnis

-x = -3 => x = 3

Hauptnenner bei Bruchgleichungen wird nicht erkannt

Hauptnenner wird nicht auf alle Glieder der Gleichung bezogen

Probleme mit Variablen im Nenner

*10x

Probleme bei Variable im Zähler

Variable ist wie Zahl zu behandeln

Bei Textaufgaben werden die Abhängigkeiten falsch dargestellt