SS 1999

Datum: 30. Juli 1999
Seminar: Geometrie in der SI mit dem Computer
Dozent: Dr. W. Neidhardt
Referent: Jürgen Schörner


Regelmäßige Vielecke




Euklid charakterisierte in seinen "Elementen" ein regelmäßiges Vieleck mit den Eigenschaften gleichseitig und gleichwinklig. Er lieferte Konstruktionsbeschreibungen für das regelmäßige Drei-, Vier-, Fünf-, Sechs-, und Fünfzehneck. Durch wiederholte Winkelhalbierung kann deren Seitenzahl jeweils vervielfacht werden. Gauß zeigte, daß ein regelmäßiges Vieleck nur dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann, wenn die ungeraden Primfaktoren der Eckenanzahl voneinander verschiedene Fermat-Primzahlen
F0 = 3
F1 = 5
F2 = 17
F3 = 257
F4 = 65537
sind. Somit sind z.B. das regelmäßige Sieben- und Neuneck nicht konstruierbar. Das erste Vieleck, welches Euklid nicht konstruieren konnte, war also das regelmäßige Siebzehneck, da alle anderen Vielecke (2<n<17) entweder nicht konstruierbar sind, oder aus den bereits konstruierten hervorgehen. Zunächst jedoch zur experimentellen Erzeugung eines regelmäßigen Vielecks:

Aufgabe:

Wähle auf dem vorgegebenen Trägerkreis einen zweiten, von P_0 verschiedenen, Punkt P_1. Die weiteren Punkte haben jeweils den gleichen Abstand dist(P_0,P_1). Verbinde benachbarte Punkte. Welches Problem fällt Dir auf?

Beispiel: Experimentell erzeugtes Fünfeck

Als nächstes sollen die Vielecke konstruiert werden. Setze die Zeichenfläche durch gleichzeitiges Drücken der Shift-Taste und des Reload-Buttons in den Anfangszustand zurück.

Aufgaben:

1. Konstruiere ein regelmäßiges Dreieck.
Hilfe

2. Verwende Deine bisherigen Arbeitsschritte, um ein regelmäßiges Sechseck zu konstruieren.
Hilfe

3. Konstruiere ein regelmäßiges Viereck.
Zeichne dann mit anderer Farbe ein regelmäßiges Achteck ein.
Hilfe

4. Konstruiere ein regelmäßiges Fünfeck.
Hilfe

5.Verinnerliche die Konstruktion zum regelmäßigen Fünfzehneck.

6.Vervollständige folgende Konstruktion zum regelmäßigen Siebzehneck.




Weiterführungen:

Literatur:

  • EUKLID: Die Elemente. Übersetzt und herausgegeben von Clemens Thaler, Viewegverlag 1973, 5. Auflage.
  • NEIDHARDT W./WURM Ch.: Arbeitsbuch Thales. Dümmlers Verlag Bonn 1997.
  • ARTMANN, B.: Aktivitäten mit dem regelmäßigen Fünfeck. In: Der Mathematikunterricht/28 Heft 4 (1982).