Trigonometrische Funktionen

Sinus

5.2 Sinus

Problem:

Auf Paßstraßen kann man oft die Höhenmeter ablesen, die man zurückgelegt hat. Ein Auto hat auf einer Strecke von 10km einen Höhenunterschied von 1000m bewältigt. Wie groß ist der Neigungswinkel?

Lösung?

Es wäre sinnvoll nicht immer umständlich über den Pythagoras zu rechnen, sondern den Neigungswinkel direkt aus den Angaben zu berechnen.
Dazu gibt es in der Trigonometrie den sog. Sinus, der in einem rechtwinkligen Dreieck einen Zusammenhang aus der Gegenkathete und der Hypotenuse angibt:

$$\sin\alpha=\frac{a}{c}$$

Wichtiger ist hier auch der Zusammenhang, ohne die Bezeichnungen:

Der Sinus ist der Quotient aus der Gegenkathete und der Hypotenuse.

Ermittle die Sinuswerte für die Winkel $0^o$, $10^o$,$20^o$, $30^o$, $40^o$, $45^o$, $50^o$, $60^o$, $70^o$, $80^o$, $90^o$. Welche Werte kann der sin überhaupt annehmen?

An dieser Stelle muß wieder die Bedienung des Taschenrechners erläutert werden.

Der Sinus wird beim Taschenrechner - ebenso wie beim Tangens - durch eine Polynomfunktion dargestellt:

$$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

$$\sin x = x - \frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{5}- \cdots$$

Die Umkehrung, der Arkussinus - $arcsin$ -, berechnet sich wie folgt:

$$\arcsin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \cdot (2n+1) }x^{2n+1}$$

$$\arcsin x = x + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1 \cd... ...ot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\cdot\frac{1}{7}x^{7} + \cdots$$

Unterabschnitte

• 5.2.1 Beispielaufgaben