Trigonometrische Funktionen

Einschub: Polarkoordinaten

6. Einschub: Polarkoordinaten

Bisher wurden die trigonometrischen Funktionen $sin$, $cos$ und $tan$ nur für einen Winkel $\alpha$ im Bereich von $0\le \alpha \le 90^{o}$ untersucht. Um $\alpha$ auch außerhalb dieses Bereiches zu untersuchen, ist es sinnvoll $sin$ und $cos$ am Einheitskreis zu betrachten.
Dazu bietet es sich an, Polarkoordinaten einzuführen. Ein Punkt in der Zeichenebene ist eindeutig durch seine Koordinaten $x$ und $y$ bestimmt.
Motivation:    

Es kann die Schüler gefragt werden, ob man ihn auch durch zwei andere 'Eigenschaften' eindeutig bestimmen kann ($\rightarrow$ $r$, $\varphi$).

Hilfe aus dem Alltag:

Bei Schiffen auf der See wird der Weg und die Richtung in der Form '5km in südöstlicher Richtung' angegeben. Diese Angabe ist oft günstiger als z. B. 4km geradeaus und dann 5km nach rechts.

$r$ und $\varphi$ heißen Polarkoordinaten des Punktes. Der Punkt `O', von dem aus die Entfernung gemessen wird heißt Pol, die Achse gegen die die Richtung gemessen wird heißt Polarachse.

Zusammenhänge zwischen kartesischen und Polarkoordinaten:

$$\begin{eqnarray*} x & = & r \cdot \cos\varphi \\ y & = & r \cdot \sin\varphi \\... ...{x^{2}+y^{2}} \\ \tan\varphi & = & \frac{y}{x}, \quad x \not= 0 \end{eqnarray*}$$

Winkel werden negativ gezählt bei einer Rechtsdrehung (Uhrzeigersinn), Winkel werden positiv gezählt bei einer Linksdrehung (Gegenuhrzeigersinn).

Dem Schüler muß klar sein, daß diese beiden Möglichkeiten den gleichen Punkt beschreiben.