Trigonometrische Funktionen

Der Einheitskreis

7. Der Einheitskreis

Ist es vielleicht günstiger, die Polarkoordinaten wegzulassen, und gleich mit dem Einheitskreis anzufangen?

Vom allgemeinen Fall mit einem beliebigen Radius $r$ kann übergegangen werden zum Einheitskreis, d. h. ein Kreis mit Radius $1$. Betrachtet man dies in der Zeichnung, so erkennt man, daß der $x$-Wert von $P$ genau dem $\cos\varphi$ und der $y$-Wert dem $\sin\varphi$ entspricht.

Weiter wird dann in den meisten Büchern ein riesiger Formelapparat aufgebaut:

1. Quadrant:

Im 2. Quadranten gilt:

$$\begin{eqnarray*} \sin\varphi & = & \sin(180^o-\varphi)\\ \cos\varphi & = & -\cos(180^o-\varphi)\\ \tan\varphi & = & -\tan(180^o-\varphi)\\ \end{eqnarray*}$$

Im 3. Quadranten gilt:

$$\begin{eqnarray*} \sin\varphi & = & -\sin(\varphi-180^o)\\ \cos\varphi & = & -\cos(\varphi-180^o)\\ \tan\varphi & = & \tan(\varphi-180^o)\\ \end{eqnarray*}$$

Im 4. Quadranten gilt:

$$\begin{eqnarray*} \sin\varphi & = & -\sin(360^o-\varphi)\\ \cos\varphi & = & \cos(360^o-\varphi)\\ \tan\varphi & = & -\tan(360^o-\varphi)\\ \end{eqnarray*}$$

Weiter gilt:

$$\begin{eqnarray*} \sin\varphi & = & \sin(\varphi-z\cdot 360^o)\\ \cos\varphi & ... ...z\cdot 360^o)\\ \tan\varphi & = & \tan(\varphi-z\cdot 360^o)\\ \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} \sin(-\varphi) & = & -\sin\varphi\\ \cos(-\varphi) & = & \cos\varphi\\ \tan(-\varphi) & = & -\tan\varphi\\ \end{eqnarray*}$$

Natürlich sollten die verschiedenen Quadranten und deren Eigenschaften gesondert für die Schüler erklärt werden. Aber bei den SchülerInnen besteht oft die Meinung, daß diese Formeln alle beherrscht werden müssen.

Sollte dieser Formelappat nicht vielleicht zu diesem Zeitpunkt komplett weggelassen werden und stattdessen konkret Beispiele am Einheitskreis durchgerechnet werden? Vielleicht erst zum Schluß solche allgemeinen Eigenschaften durchnehmen?

Aber Sinn und Zweck darf nicht sein, daß diese nur auswendig gelernt werden, und dann letztendlich oft nicht mal (richtig) angewendet werden können. Viel wichtiger ist es, daß der/die SchülerIn die Eigenschaften von $\sin\varphi$ und $\cos\varphi$ am Einheitskreis versteht. Denn wenn man den Hintergrund verstanden hat, kann man sich diese diversen Formeln bei Bedarf her- bzw. bleiten.

Das Motto für einen Schüler - im Hinblick auf trigonometrische Funktionen und deren Berechnung - sollte sein:

WENN DU NICHT MEHR WEITER WEISST,
DANN ZEICHNE DIR 'NEN EINHEITSKREIS !

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