Trigonometrische Funktionen

Die Sinusfunktion

10.1 Die Sinusfunktion

Bis hierher kannten die Schüler nur die trigonometrischen `Beziehungen' sin, cos, tan etc. Nun werden diese nicht mehr als `Beziehungen', sondern als Funktionen aufgefaßt.
Den Schülern sind Beziehungen wie $y=x$, $y=x^2$ etc. geläufig.
Den Graphen der Sinusfunktion erhält man dadurch, daß jedem Winkel (x-Wert) der zugehörige Sinuswert (y-Wert) zugeordnet wird. Die Sinusfunktion lautet also:

$$x \mapsto \sin x, \quad x\in I\hspace{-1.5mm}R \quad.$$

Den Grahpen der Sinusfunktion bezeichnet man als Sinuskurve.
Ausgehend vom Einheitskreis können nun die Werte $x$ in dem Intervall $[0;2\pi]$ aufgezeichnet werden.
Wertetabelle:

x-Wert	$0^o$	$30^o$	$45^o$	$60^o$	$90^o$	$120^o$	$135^o$	$150^o$	$180^o$
x-Wert	$0$	$\frac{1}{6}\pi$	$\frac{1}{4}\pi$	$\frac{1}{3}\pi$	$\frac{1}{2}\pi$	$\frac{2}{3}\pi$	$\frac{3}{4}\pi$	$\frac{5}{6}\pi$	$\pi$
y-Wert	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$1$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
x-Wert	$180$	$210^o$	$225^o$	$240^o$	$270^o$	$300^o$	$315^o$	$330^o$	$360^o$
x-Wert	$\pi$	$\frac{7}{6}\pi$	$\frac{5}{4}\pi$	$\frac{4}{3}\pi$	$\frac{3}{2}\pi$	$\frac{5}{3}\pi$	$\frac{7}{4}\pi$	$\frac{11}{6}\pi$	$2\pi$
y-Wert	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$-\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$-\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$-\frac{1}{2}$	$0$

An dieser Stelle wird auch der Begriff der Periode erläutert.

Den Schülern müß der Zusammenhang zwischen dem Einheitskreis und den trigonometrischen Funktionen klar sein.

Applet: Einheitskreis - trigonometrische Funktionen

Eigenschaften der Sinuskurve:

• Punksymmetrie: $sin(x) = -sin(-x)$
• Periodizität: $2\pi$
• Wertemenge: $V\hspace{-2.6mm}W = [-1;+1]$
• Nullstellen: $k\pi$, $k\in Z\hspace{-2.2mm}Z$
• Hochpunkte: $(\frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi\vert 1)$, $k\in Z\hspace{-2.2mm}Z$
• Tiefpunkte: $(\frac{3\pi}{2} + k \cdot 2\pi\vert-1)$, $k\in Z\hspace{-2.2mm}Z$