Trigonometrische Funktionen

Tangens

5.1 Tangens

Motivation/Wiederholung:     Steigung auf Verkehrsschildern ($\rightarrow$ Prozentrechnung).

In ähnlichen Dreiecken sind entpsrechende Seitenverhältnisse gleich. Die Steigung $m$ einer Geraden ist als Quotient aus senkrechter und waagrechter Kathete (Stichwort: Steigungsdreieck) bekannt.

Frage:

Wie ist der Zusammenhang zwischen dem Neigungswinkel $\alpha$ und der Steigng $m$. Ist $\alpha$ immer gleich groß?

Es wird hier schon indirekt eine erste Eigenschaft des tan herausgearbeitet - ohne ihn überhaupt genannt zu haben.

In der Trigonometrie wird die Steigung $m$ als $\tan\alpha$ bezeichnet. Die Kathete am Scheitel wird dabei als Ankathete, die dem Winkel gegenüberliegende Seite als Gegenkathete bezeichnet. Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit $\gamma=90^{o}$ gilt also:

$$\tan\alpha = \frac{a}{b} \quad.$$

Wichtig ist hier, daß sich die Schüler nicht nur obigen Zusammenhang in der Formel merken, sondern `wörtlich':

Der Tanges ist der Quotient aus der Gegenkathete und der Ankathete.

Wie können aus folgendem -APPLET Werte für den Tangens entnommen werden? Entnimmt die Tangens-Werte für die Winkel $0^o$, $10^o$,$20^o$, $30^o$, $40^o$, $45^o$, $50^o$, $60^o$, $70^o$, $80^o$, $90^o$! Welche Werte kann der Tangens überhaupt annehmen? Welcher Winkel gehört zu einer Steigung von 100%?

Spezielle Tagenswerte können, müssen aber hier noch nicht eingeführt werden.

An dieser Stelle ist es nun notwendig, die Bedienung des Taschenrechners zu erläutern. Wichtig sind hier die Unterschiede zwischen RAD- und DEG-Werten (häufige Fehlerquelle). Vor allem sollte dem Schüler klar werden, WANN ich nun WAS verwenden muß - im Grunde kann ich verwenden, was ich will (Äquivalenz zwischen RAD und DEG oft nicht klar).

Unterabschnitte

• 5.1.1 Info: Woher kennt der Taschenrechner diese Werte?
• 5.1.2 Beispiele für Steigungen
• 5.1.3 Beispielaufgaben