Betrachtung von Epizykloiden

Gewöhnliche Epizykloide:

Ein Punkt des Umfanges eines Kreises, der ohne zu gleiten auf der Außenseite eines festen Kreises rollt, beschreibt eine Epizykloide.

Die Parameterdarstellung einer Epizykloide lautet folgendermaßen:

Wobei der Drehwinkel des festen inneren Kreises ist; mit - < <

Ist das Verhältnis a / b = m ganzzahlig, so besteht die Kurve aus m zusammenhängenden Bögen, andernfalls überschneiden die Bögen einander.
Ist m rational, schließt sich die Kurve nach einer Anzahl von Umdrehungen in sich.

Die Länge eines Bogens wird nach folgender Formel bestimmt:

Länge der Kurve (bei ganzzahligem m): = 8(a + b)

Fläche unter einem vollem Bogen (zwischen Epizykloide und festem Kreis):


Verkürzte und verlängerte Epizykloiden (Epitrochoiden):

Der erzeugende Punkt liegt innerhalb bzw. außerhalb des rollenden Kreises im Abstand c vom Mittelpunkt des rollenden Kreises. Es gilt:

c < b : verkürzte (gestreckte) Epizykloide
c > b : verlängerte (verschlungene) Epizykloide

Die Parameterdarstellung lautet:


Sonderfall:

Die gewöhnliche Epizykloide wird für m = 1, also a = b zur Kardioide (Herzkurve):

x = a (2 cos - cos 2)
y = a (2 sin - sin 2)
ist wiederum der Drehwinkel des festen Kreises

Bemerkung zur Steuerung des folgenden Applets:

a ist der Radius des festen (inneren) Kreises (kann durch scrollen verändert werden).
b ist der Radius des rollenden Kreises, und c der verlängerte / verkürzte (rote) Radius des rollenden Kreises; beide können ebenfalls beeinflußt werden.
Mit der oberen Scrollleiste wird die Animationsgeschwindigkeit, mit der zweiten die Anzahl der Umläufe gesteuert.
Die Textfelder für die x- und y-Komponenten des zeichnenden Kreises sind in Pixeln angegeben.