Betrachtung von Hypozykloiden

Gewöhnliche Hypozykloide:

Ein Punkt des Umfanges eines Kreises, der ohne zu gleiten auf der Innenseite eines festen Kreises rollt, beschreibt eine Hypozykloide.

Die Parameterdarstellung einer Hypozykloide lautet folgendermaßen:

Hierbei ist a der Radius des festen Kreises, b der des rollenden und der Drehwinkel.

Ist das Verhältnis a / b = m ganzzahlig, so besteht die Kurve aus m zusammenhängenden Bogen; andernfalls überschneiden die Bogen einander.
Ist m rational, schließt sich die Kurve nach einer Anzahl von Umdrehungen in sich.

Länge eines Bogens:

Länge der Kurve (bei ganzzahligem m): = 8 (a - b)

Fläche unter einem vollen Bogen (zwischen Hypozykloide und festem Kreis);


Verkürzte und verlängerte Hypozykloiden (Hypotrochoiden):

Der erzeugende Punkt liegt innerhalb bzw. außerhalb des rollenden Kreises im Abstand c vom Mittelpunkt des rollenden Kreises.
c < b : verkürzte (gestreckte) Hypozykloide
c > b : verlängerte (verschlungene) Hypozykloide

Parameterdarstellung:


Sonderfälle:

Die gewöhnliche Hypozykloide wird für m = 4, also für b = a / 4 zur Astroide (Sternlinie):

Für m = 2, also für b = a / 2 wird sie zu einer Geraden, und zwar artet sie in den Durchmesser des festen Kreises aus (Möglichkeit zur Umwandlung einer Drehbewegung in eine Hin- und Herbewegung).
(Technische Anwendung: Verzahnungstechnik)
Verkürzte und verlängerte Hypozykloiden werden für m = 2 (b = a / 2), zu Ellipsen mit der Gleichung:

(Möglichkeit zur Umwandlung einer Drehbewegung in eine elliptische Bewegung)

In dem nun folgenden Applet kann man die Veränderungen an einer Hypozykloide erkennen:

Die Radien a (fester Kreis), b (rollender Kreis) und c (Variation von b) können durch scrollen verändert werden.
In den Textfeldern der x- und y-Komponente werden die Koordinaten des zeichnenden Punktes in Pixeln angegeben.