Betrachtung von Trochoiden

Verkürzte und verlängerte Zykloiden bzw. Trochoiden werden durch folgende Veränderung des erzeugenden Punktes des rollenden Kreises erzeugt. Wie weiter unten im Applet deutlich zu sehen ist, "wandert" der erzeugende Punkt je nach Wahl von c entweder in das Innere oder in das Äußere des erzeugenden Kreises ( r = a ). Ausgangsfigur ist bekanntlich die Zykloide ( r = a = c ).


Für beide Trochoidenarten gilt:

Der erzeugende Punkt liegt außerhalb (innerhalb) des abrollenden Kreises im Abstand c vom Mittelpunkt ( c > a bzw. c < a).

Die Parameterdarstellung lautet:

x = a - c sin
y = a - c cos

ist ebenso wie bei der Zykloide der Wälzwinkel am Mittelpunkt des abrollenden Kreises.

Die Scheitelpunkte Sk haben die Koordinaten:

Sk((2k - 1)a, 2a)
k IN

Die Punkte Bk , welche aus den Punkten Ok der Zykloide hervorgehen, lassen sich wie folgt berechnen:

Bk(2ka, a - c)

Die Länge eines Bogens BkBk+1 errechnet sich aus:

Die Fläche unter dem Bogen von Bk bis Bk+1 beträgt:

A = ( 2a2 + c2 )


Unterschiede:

Verlängerte Zykloide: Doppelpunkte Dk (siehe Applet) haben die Darstellung:

Dk ( 2ka, a(1 - (2 - 2 )½ )),

wobei die kleinste Nullstelle der Gleichung - sin = 0 ist.

( = c / a).

Verkürzte Zykloide: Wendepunkte W2k und W2k+1:

W2k , 2k+1 ( a (±arccos + 2k - ( 1 - ² )½ ), a ( 1 - ² ) )

Tips zum Trochoiden-Applet:

Mit der Scrolleiste ( Radius c = ... ) kann der die verkürzte / verlängerte Trochoide erzeugende Radius c verändert werden.
Hierbei erkennt man auch gut, was die Begriffe "verkürzt ( = gestreckt )" und "verlängert ( = verschlungen )" bedeuten.
In den Textfeldern sind die Angaben für die x- und y-Koordinaten auf den Radius des rollenden Kreises genormt, d.h. es gilt a = 1 LE.