Ein historisches Modell

Dieses Holzmodell verdeutlicht ein wichtiges Gesetz der Mechanik, welches Galileo Galilei endeckte, während er Anfang des 17. Jahrhunderts in Padua unterrichtete:

Die Brachistochrone hat die Form einer Zykloidenbahn, auf der ein Körper reibungsfrei nur unter Einfluß der Schwerkraft von einem Startpunkt A zu einem Punkt B in der schnellstmöglichen Zeit gelangt.

Den mathematischen Beweis dafür lieferte Johann Bernoulli 1697. Dieses Holzmodell einer Zykloidenbahn steht auf zwei in der Höhe variierbaren Standfüßen. Parallel dazu ist eine gerade Holzbahn angebracht, bei welcher die Steigung (Neigung) ebenfalls veränderbar ist (durch Verlängerung der Geraden, oder durch Variation der beiden Standfüße).

Beide Bahnen haben einen gemeinsamen Startpunkt A (y0 / 0). Die dort in diesem Punkt angebrachte Startvorrichtung ermöglicht einen gleichzeitigen Start zweier gleicher Kugeln.

Zielpunkt des Vergleichs und der beiden Kugeln ist der Schnittpunkt B der Kurven.

Das Ergebnis des Models wird in dem anschließenden Applet genauer verdeutlicht: Bei Variation der Standfußhöhe und/oder der Geradenlänge erreicht die Kugel auf der Zykloide den Schnittpunkt B immer vor der Kugel auf der Geradenbahn. Hierbei gelten folgende Formeln für die einzelnen Gleitzeiten:

Zykloidenbahn:

Gerade:

Applet zum Holzmodell:

In diesen Applet kann durch einfaches Klicken mit der linken Maustaste ein neuer Schnittpunkt B, und somit ein neuer Neigungswinkel gesetzt werden; dies hat den gleichen Effekt als würde man die Länge der Geraden oder die Höhe der Zykloiden verändern).

Die Laufzeit der Zykloide kann dem Textfenster entnommen werden.